正弦・余弦の加法定理

 (複号同順)
 (複号同順)

[
証明] 原点Oを中心とする半径1の円周上に右図のように、2ABをとります(ここでは、とします)
2AB間の距離の2乗は、

 
 
  ・・・@

一方、
のとき、三角形AOBにおいて、余弦定理より、 ・・・A
のときは、より、
のときは、より、
よって、Aは、より、 ・・・B
のとき()は、ABは円の直径で明らかにより、Bを満たします。

よって、@,Bより、
・・・C
Cは、
のときも、より成立します。
従って、円周上にどのように
2ABをとっても()、Cは成立します。

のとき、が成立しますが、
ab 一般角であって、nmを整数として、のとき、

 



より、

 
よって、一般角ab についても、
 ・・・D

Dにおいて、
b を代入すると、

  ・・・E

Eにおいて、
aを代入すると(三角関数参照)

 
 
 ・・・F

Fにおいて、
b を代入すると、

 
(
証明終)

加法定理により、特殊な角の正弦・余弦の値が求められます。

 

 


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