微分法の方程式への応用

3次関数があるときに、3次方程式:3個の相異なる実数解をもつ条件は、2次方程式が相異なる2個の実数解ab をもち、かつ、 (極大値と極小値の積が負)

[証明] の係数が正の場合を考えます。負の場合も全く同様です。なお、3次関数の増減を参照してください。
2次方程式が相異なる2個の実数解ab をもつとき、だとして、であれば、極大値の方が極小値よりも大きいので、が極大値でが極小値であり、です。
において、であっては単調増加で、のとき,また、より、1個実数解をもちます。
において、であっては単調減少で、より、1個実数解をもちます。
において、であっては単調増加で、のときより、1個実数解をもちます。
以上より、
が相異なる2個の実数解ab をもち、かつ、であれば、3次方程式3個の相異なる実数解をもちます。

また、
が重解をもつ場合(すべてのxについて)、あるいは、が実数解をもたない場合(すべてのxについて)は、は単調増加な関数で、のグラフはx軸とただ1つしか交点をもちません。よって、3次方程式がただ1つの実数解しかもちません。
が相異なる2個の実数解ab をもつとき、だとして、であるとき、
であれば、3次方程式は、の範囲に1個の実数解をもちますが、におけるの最小値:であり、においては、3次方程式は、のときに、のグラフはx軸と接し、を重解にもちますが、のときには、のグラフはx軸と共有点をもたず実数解をもちません。
であれば、3次方程式は、の範囲に1個の実数解をもちますが、におけるの最大値:であり、においては、3次方程式は、のときを重解にもちますが、のときには実数解をもちません。

以上より、
3次方程式:3個の相異なる実数解をもつ条件は、2次方程式が相異なる2個の実数解ab をもち、かつ、 (証明終)

13次方程式:3個の異なる実数解をもち、そのうちの1つはの範囲に存在することを示す。
[解答] 3次関数:を考えます。

とすると、


増減表は、
x1
00
3
これより、においては単調減少で、より、方程式:は、の範囲に解をもちます。
また、
においては単調増加で、より、方程式:は、の範囲に解をもちます。
においては単調増加で、より、方程式:は、の範囲に解をもちます。
以上より、
3次方程式:3個の異なる実数解をもち、そのうちの1つはの範囲に存在します。

2kを定数として、3次方程式:の解の個数がkの値によりどのように変わるかを調べる。
[解答] 3次方程式:の解は、 を連立したときの解と同じです。



の増減表は、
x0
00
0
増減表より、のグラフは右図のようになります。
@とAを連立したときの解は、@とAのグラフの共有点の
x座標です。
kの値を動かすことにより、x軸に平行な直線:を上下に動かして交点の数を調べると、3次方程式の解の個数は、右図のように、
1 (のとき)2 (のとき)3 (のとき)2 ((のとき)1 (のとき) ......[]


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