面積比・体積比

右図において、1aだとするとき、の面積比は、1

[証明] です。とします。
の面積は、
の面積は、
1 (証明終)

三角形に限らず多角形の場合も、右図のように三角形に分割して考えれば、各辺の長さの比が1aなら、各三角形の面積比は1となり、多角形の面積比も1になります。

半径
rの円の面積はですから、円の半径がa倍になると、円の面積はとなり倍になります。


底面積S,高さhの錐体の体積:

[
証明](数学V未習の人は飛ばしてOK) 錐体を底面に平行な平面で切るとき、断面にできる図形Fは右図のように底面と相似です。
錐体を底面に垂直な平面
Kで切ったときの断面を右図に示します。
と底面との交線の長さを
aとすると、KFとの交線の長さはdは、頂点とFとの距離をxとして、
底面と図形Fの面積比は、1なので、図形Fの面積は
図形Fの体積は、 (証明終)


右図で、四面体ABCDと四面体EFGHが相似であって、1aだとするとき、四面体ABCDと四面体EFGHの体積比は、1

四面体ABCDの底面の面積と四面体EFGHの底面の面積の比は、1
四面体ABCDの高さと四面体EFGHの高さの比は、1a
四面体ABCDの体積と四面体EFGHの体積の比は、1 (証明終)

四面体に限らず、多面体の場合も、四面体に分割して考えれば、各辺の長さが1aなら、各四面体の体積比は1となり、多面体の体積比も、1

文科省の学習指導要領解説書にカヴァリエリの原理を使って球の体積を説明する事例が載っています。

カヴァリエリの原理:2個の立体をある平面に平行な平面で切るときの切り口の面積が等しければ、2個の立体の体積は等しい。
半径
rの球の体積は、

[
カヴァリエリの原理による証明] 右図のように半径rの円を底面とし、高さrの円柱Cを考えます。
Cの体積は、です。
半径
rの半球Dはこの円柱Cの中にスッポリ収まります。
また右図のように、円柱
Cから、円柱の上面を底面とし高さrの直円錐Eを取り除いた図形Fを考えます。
底面から高さ
xのところで底面に平行な平面で切ると、
半球
Dの切り口にできる円の半径は、右図のようにで、この円の面積はです。
一方、
Fの切り口にできる図形の面積は、半径rの円の面積から、半径xの円の面積を引いて、です。
つまり、半球
Dと図形Fとでは、切り口の面積が等しいのです。
ということは、カヴァリエリの原理より、半球
Dと図形Fの体積は等しいことになります。
直円錐の体積は、
図形Fの体積は、
従って、半球Dの体積も
半径rの球の体積はこの2倍で、 (証明終)

半径rの球の体積はで、球の半径がa倍になると、球の体積はとなり倍になります。

なお、半径
rの球面を網目状に限りなく細かくわけると、この1つ分を底面として球の中心を頂点とし高さrの錐体を考えることができます。
この錐体の体積の総和は球の体積
です。
一方、錐体の底面積の総和は球の表面積
Sです。
従って、錐体の体積の総和を考えることにより、
これより、球の表面積は、となります。


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