アステロイド

として、媒介変数表示:で与えられる曲線をアステロイドと言う。

 (媒介変数表示された関数の微分法を参照)
において、より、xは単調減少,より、yは単調増加で、q と変わるとき、xyとなります。
グラフは右図。x軸,y軸に関して対称です。

右図のアステロイド
Cが囲む部分の面積Sは、第1象限にある部分を4倍して、

を用いて置換積分を行うと、xのとき、qより、

 
 
 
  (但し、定積分の漸化式を参照)
 

アステロイドCが囲む部分をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vは、第1象限にある部分を1回転したものの2倍として、

面積と同じように、置換積分を行うと、

 
 
 
とおく(置換積分を参照)と、qのとき、tより、

 
 

曲線Cの長さLは、第1象限にある部分の長さを4倍して、

 
 
 

 
 
 
注.この計算を以下のように行うのは誤りです。

  ???
において、つねにではないことに注意してください。においては、です。
正しくは、以下のようになります
(なるべく、解答のように計算してください)

 
 
 


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