漸近線

曲線について、または、のとき、曲線上の点と直線との距離→0 となるような直線があれば、この直線を漸近線と言う。
曲線
が漸近線をもてば、
または、とするとき、が成り立つ。

[証明] 漸近線の定義より、または、のとき、 ・・・@
よって、
だから、,つまり、
また、@より、 (証明終)

上記の結果を用いて、漸近線を求めることができます。
まず、
のときの、極限値を求めます。極限値が存在すれば、それが漸近線の傾きmです。発散してしまう場合には、漸近線は存在しません。漸近線の傾きmが求まったら、の極限値を求めます。極限値が存在すれば、それが漸近線のy切片nです。発散してしまう場合には漸近線は存在しません。
注.上記で、
の極限値が求まっても、の極限値が存在しないことがあり得ます。例えば、では、のとき、ですが、です。

例.曲線:の漸近線を求める。
[解答] まず、曲線の方程式を陽関数の形(の形)に直します。
yについて整理すると、

y
に関する2次方程式と見て解くと、

 

のとき、

よって、漸近線の傾きは、,または、
傾きがのとき、 (以後、極限値を求めるまで複号同順)とすると、

 
 
 
よって、y切片は0で、漸近線は、
傾きがのとき、 (以後、極限値を求めるまで複号同順)とすると、

 
 
 
  (のとき、なので、根号部分をxで割ると、符号が逆になることに注意)
 
よって、y切片は2で、漸近線は、
よって、与えられた曲線は2本の漸近線をもち、 ......[] (右図参照、黒線が曲線:,緑線が漸近線)


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