二項定理

の展開において、の左側のからa,右側のからaをとってかけるととなり、左側のからa,右側のからbをとると,左側のからb,右側のからaをとると,左側のからb,右側のからbをとるとという項が得られます。
結局
の展開からは、2つのから0個のbを選ぶ組み合わせ個,2つのから1個のbを選ぶ組み合わせ個,2つのから2個のbを選ぶ組み合わせ個の項が出てくるので、となります。
同様にして、
の展開において、3つののうち0個のbを選んでかければ1個のbを選べば2個のbを選べば3個のbを選べばという項が得られるので、となります。

一般に
の展開においては、n個のからk()bを選ぶときという項ができるので、という項は個できることになります。従って、以下の二項定理が成立します。

(1)
(2)

(1)は、Σ記号を使って書くと、となります。
(1)において、axb1とすれば、(2)が得られます。(2)をΣ記号を使って書くと、となります。

例.
を展開したときのの項の係数を求めます。
の項は、7個のから4個、3個選んでかけると得られます。従って、個の項ができるので、この項は、となり、係数は、です。

なお、
二項定理の応用を参照してください。








   ・・・・・・
の係数を並べた表を右上図に示します。これを
パスカルの三角形と言います。
これは、右下図のように、
を各nについて、として計算したものを並べたものです。
従って、右上図の左右の端は、
になります。また、\/の上2つの数を足すと下の数になります(パスカルの三角形を作るときはこの性質を利用して作ります)が、これは、公式:を意味しています。例えば、の段のを加えると、となりますが、を意味しています。


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