二項定理の応用

二項定理 ・・・@ において、
とおくと、
より、
公式:

が得られます。

@において、
とおくと、

n
が偶数のときには、


n
が奇数のときには、



などにより、@は、
・・・A
とも書けます。
Aを微分すると、
・・・B
ここで、
とおくと、


Aを0から1まで積分すると、




二項定理bについて微分すると、

両辺にbをかけて、

ここで、とすると、
・・・C
左辺の第
k項目()に出てくる、は、1回の試行で事象Eの起こる確率がbだとするとき、n回試行を行ったうちk回事象Aが起こる確率(反復試行の確率)です。Cの左辺は、これにkをかけて、からまで足し合わせたものになっているので、k回事象Aが起こったときに得点kがもらえるとしたときの得点の期待値を表しており、Cは、この期待値がであることを意味しています。
例えば、サイコロを
300回振って、1の目が出た(確率)回数だけ得点をもらえるとしたときの得点の期待値は、点です。


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