2項間漸化式

数列の隣接2項:に関する関係式を2項間漸化式と言います。
(1) 基本形: (pq:定数,とする。のときは等差数列)

・・・@ ()とする。
をともにxとおいた1次方程式: ・・・A を解くと、
@−Aより、
これより、は、初項:,公比:p等比数列
よって、

[
注意] 結果を暗記しても何の意味もありません。道すじを覚えること。

2項間漸化式にはさまざまな亜種があります。ここでは、代表的な2例をあげておきます。


(2) (pqr:定数,)

基本形(1)で定数qだったところが、等比数列の形をしているタイプです。
両辺を
で割る(がいるときは、乗で割ると覚えてください)と、

ここで、とおくと、
これは、2項間漸化式の基本形です。(1)の手順でを求めて、とすれば一般項が求められます。


(3) (pqr:定数,)

基本形(1)で定数qだったところが、n1次式になっているタイプです。

[解法1]  ・・・B ()とする。
Bで
nとして、 ・・・C (これをとすると誤りなので要注意)
C−Bにより、
数列は基本形(1)と同じ形の漸化式に従います。より、
初項は
(1)
の手順を行えば、
をBに代入すると、




[
解法2] 一般項を ・・・D とおく。(は公比:p等比数列で、等比数列n1次式を加えた形)
Bに代入して、
整理すると、
が公比:p等比数列になるのは、のとき、
すなわち、

Dでとして、

これで、となります。これをDに代入して、



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