カージオイド

として、 () で与えられる曲線をカージオイドと言う。

 (媒介変数表示された関数の微分法を参照)
における増減表は以下の通りです。
q0q
00000
x
×0×××0×
y000
注.増減表でyの変化がおかしいと思うかも知れません。においては、xq に対して単調減少なので、上の増減表ではxの欄から下を右から左に見ていく必要があります。からまででxからまで変化し、yからまで増加するので、になっています。においても同様に、xの欄から下を右から左に見ていく必要があります。
グラフは右図のようになります。

右図のカージオイド
Cで囲まれる部分の面積Sを求めてみます。
グラフは
x軸に関して対称なので、x軸から上の部分を2倍して求めることにします。
に対応する部分をに対応する部分をとすると、面積を求める部分は、においては、で挟まれる部分、においては、x軸に挟まれた部分になります。従って、Sは、についてからまで積分したものから、についてからまで積分したものを引けば求められます。

とおいて置換積分すると、
について、xのとき、q
について、xのとき、q

    
 
    
 
    
 
    
 
    
 
 

カージオイドCの周の長さ()を求めてみます。
x軸から上の部分の周の長さの2倍と考えて、

 
 
 
 

 


   数学基礎事項TOP   数学TOP   CHALLENGE from the VOID   TOPページに戻る

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらる雑誌「大学への数学」購入Newton e-Learning
inserted by FC2 system