コーシー・シュワルツの不等式

において積分できるような関数であるとき、
 
この不等式を、コーシー・シュワルツの不等式と言う。

[証明] において積分できるような関数であって、この範囲でが恒等的に0にはならないとします。
tを任意の実数として、
よって、として、 (定積分と不等式を参照)
不等号の等号は、におけるすべてのxについて、であるときに成立します。


(
においてであって、は恒等的に0ではない)とおくと、

この不等式が成り立つ条件は、より、tに関する2次方程式:が、相異なる2実数解をもたない(重解か2虚数解をもつ)こと(2次方程式の一般論を参照)で、2次方程式の判別式:について、


(
証明終)

例.  を示す。
[解答] コーシー・シュワルツの不等式より、


辺々加え合わせて、



ここで、部分積分をするのですが、

としてしまうと面倒なので、と見て以下のようにします。

 
 
 
 
注.において、より、


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