円と直線の位置関係


半径rの円Cと直線lの位置関係は右図のように3通りに分類できます。
(a) Cと直線lとが2点で交わっている場合
(b) Cと直線lとが1点で接している場合
(c) Cと直線lとが互いに離れている場合

Cの中心をとすると、円の方程式 ・・・@
直線lの方程式 ・・・A
@,Aを連立すると、
整理すると、
・・・B
Bを
x2次方程式と見るときの判別式をDとします。
この
2次方程式を解いて解があれば、解は、円と直線の共有点のx座標です。

右上図の
dは円の中心と直線lとの距離だから、
 (点と直線の距離を参照)

(a)
のとき、Bは相異なる2実数解をもつので、
右上図より、

(b)
のとき、Bは重解をもつので、
右上図より、

(c)
のとき、Bは実数解をもたず、
右上図より、

円と直線に関する入試問題では、2次方程式Bを考えるよりも、円の半径rと、円の中心と直線との距離dとの大小関係を考える方がラクに解けることが多い。

例1 円と直線2交点の距離を求める。
解答 円の中心は,半径は3
と直線との距離は、
右図より、円と直線の2交点の距離は、 ......[]

例2 円と、定点を通る直線が共有点を持たないような直線の傾きmの範囲を求める。
解答 定点を通る直線が円と共有点を持たないとき、と表せる。整理して、

直線と円が共有点を持たないことから、円の中心とこの直線との距離は、半径よりも大きく、

分母を払って2乗して同値で、
整理して、
を解くと、
......[]


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