組み合わせ

異なるn個のものから異なるr個を選ぶ組み合わせの数は、通り。

記号ですが、分子には、nから1ずつ減りながら連続r個の積が来ます。分母にはが来ます。
例えば、
です。
特に、
です。

異なる
n個のものから異なるr個を選んで並べる方法の数は、通りあります。
r個のものを並べる並べ方は通りありますが、並べ方を変えても選び方としては共通なので、1通りの選び方について通りの並べ方があることになります。
従って、異なる
n個のものから異なるr個を選ぶ方法の数は、通りとなります。

例えば、
8人の生徒から、清掃係を3人選ぶ選び方は、通りあります。

C記号には以下の重要性質があります。

(1)
(2)
(3)

[証明] (1)
(2)
 
 
 
(3)
  (証明終)

性質(1)により、は、と計算せずに、と計算します。
性質
(2)は、異なるn個からr個を選ぶときに、まず、ある1Aを選ぶか選ばないかに分け、Aを選ばないときにはA以外の個の中からr個選び、Aを選ぶときにはA以外の個の中から個を選んでAと合わせてr個を選ぶ、と、考えることもできる、ということを意味しています。


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