複素数の図形的応用 関連問題
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複素数の図形的応用を考えます。
[例1] なす角：異なる3点
，
，
に対し、
です。
，
，
に対し、
を求めます。
よって、
[例2] 直角二等辺三角形の条件：3点
，
，
が、
，
となる直角二等辺三角形をなす条件を求めます。
より
，
より
より、
⇔ 
よって、
[例3] 正三角形の条件：3点
，
，
が正三角形をなす条件を求めます。
AB=BCかつ
であることが条件です。すなわち、
より、
とおくと、
∴ 
よって、
より、
をかけて、
展開して整理すると、
[例4] 一直線上にある条件：異なる3点
，
，
が一直線上にある条件を求めます。
A，B，Cがこの順に一直線上に並ぶとき
，B，A，Cがこの順に一直線上に並ぶとき
これより、
⇔ 
は実数 ⇔ 
分母を払って、
展開して整理すると、
[例5] 平行条件・垂直条件：異なる4点
，
，
，
に対して、
・AB // CD ⇔ 
が実数 ⇔ 
・AB ⊥ CD ⇔ 
⇔ 
が純虚数 ⇔ 
[例6] 線対称な点：原点Oと点
を結ぶ直線に関して点
と対称な点
を求めます。
，
として、直線OP，α，βを原点Oの回りに反時計回りに角
回転させると、実軸、
，
に来ますが、実軸に関して対称な点は互いに共役な複素数になるので、
両辺にrをかけて、
より、
∴ 
例えば、原点Oと点P
を結ぶ直線に関して点A
と対称な点Bを求めると、
，
として、
よって、B
[例7] 円：
(
)を満たすzは、αを中心とする半径rの円周を描きます。
という形の式があるとき、まず、
でくくると、
さらに
でくくれるように変形して、
∴ 
この式は、
のとき、αを中心とする半径
の円周を描きます。
例えば
として、点
までの距離と点
[例8] 変換：単位円
上の点が、変換
(
は複素数) ･･･① によって移る図形を求めます。
とします。
①をzについて解くと、
，
∴ 
に代入すると、
∴ 
この式は、点wと点
との距離と、点wと点αとの距離の比が1：
であることを意味します。
・
のとき、点wは、点
と点αの垂直二等分線上の点になります。
・
のとき、点wは、点
と点αを1：
の比に内分する点
と1：
の比に外分する点
を直径の両端とする円(アポロニウスの円)周上の点になります。
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