ベクトルの成分表示

この項目については、ベクトルとは、および、ベクトルの1次独立を参照してください。
(1) 大きさが1のベクトルを基本ベクトルと言う。が基本ベクトルのとき、
(2)
右図1のように、座標平面上で点の位置ベクトル(原点を始点とするベクトル),点の位置ベクトルをとすると、より、は基本ベクトルである(また、1次独立である)。座標平面上の任意の点Pの位置ベクトルを、と表すことができる。の係数xx成分の係数をy成分と言う。x成分は点Px座標であり、y成分は点Py座標である。
そこで、
を点Pの座標と同じようにして、と表すことにする。これを、成分表示と言う。
(3) と成分表示されているとき、右図2のように、となる。成分表示でベクトルの和を考えるときは、x成分同士の和をx成分、y成分同士の和をy成分とすればよい(ベクトルの差も同様)
(4) と成分表示されているとき、右図3のように、となる。成分表示でベクトルの実数倍を考えるときは、x成分、y成分のそれぞれに実数をかければよい。
(5) と成分表示されているとき、右図4のように、
(6)
右図4のように、座標平面上で点A,点Bの位置ベクトルをとするとき、より、

(2) 基本ベクトルは座標系を決めているという言い方もできます。2つの基本ベクトルが互いに垂直になっているときに、x軸の向きとx軸の目盛りの1を決め、y軸の向きとy軸の目盛りの1を決めているのです。こうした座標系を正規直交座標系と呼びます。

(3)(4)をまとめると、と成分表示されているとき、
(x
同士かけて足す、y同士かけて足す)
実際の計算を行うときには、以下のようにベクトルを縦に書いて、上同士、下同士で計算し、見間違いのないように注意してください。


(5)
(6)については、2点間の距離について、座標平面を参照してください。


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