関数の連続

関数を満たすとき、において連続である、と言う。連続でないとき、において不連続であると言う。
関数
が、を満たす全ての実数cについて、を満たすとき、は開区間において連続である、と言う。
閉区間
で定義された関数が、開区間で連続で、において、を満たせば、において連続であり、閉区間で連続な関数である。
定義域内のすべての
xにおいて連続な関数を連続関数と言う。
ある区間で連続な関数
があるとき、khを実数として、も連続である。その区間内でとなるxを除いて、も連続である。

を実数だとして、は、全実数において連続な関数です。
aを実数だとして、において不連続、において連続な関数です。
(かつ)は、全実数において連続な関数です。
(
かつ)は、において連続な関数です。
aを実数だとして、は、において連続な関数です。

1xを越えない最大の整数をで表します。この記号ガウスの記号と言います。
です。
という関数は、においてにおいてにおいてという値をとりますが、
より、において不連続です。
また、
kを整数として、より、において不連続です。

2 という関数は、いかなる無理数と無理数の間にも有理数があり、いかなる有理数と有理数の間にも無理数があるので、至るところ不連続な関数です。

3 という関数は、
のとき、より、
のとき、
のとき、より、
のとき、nが奇数ならで、の値が定義できません。
グラフを描くと右図のようになり、
は、において、不連続です。


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