関数の凹凸    関連問題

ある区間で定義された関数が、その区間内でを満たす任意のに対して、
を満たすとき、
下に凸であると言う。
を満たすとき、
上に凸であると言う。

開区間において
2微分可能な関数が、この区間において、
(i) ならば、は下に凸
(ii) ならば、は上に凸

[証明] は、閉区間において連続、開区間において微分可能なので平均値の定理の要件を満たします。平均値の定理より、を満たすが存在します。
また、は、閉区間において連続、開区間において微分可能なので平均値の定理の要件を満たします。平均値の定理より、を満たすが存在します。


(i) なら増加関数なので、より、です。

よって、は下に凸です。

(ii) なら減少関数なので、より、です。

よって、は上に凸です。
(証明終)

上に凸、下に凸をまとめて凹凸と言います。
上記の凹凸の定義に出てくる不等式の両辺は、からまでの
平均変化率と、からまでの平均変化率です。
平均変化率がだんだん増加するときに下に凸で、だんだん減少するときに下に凸です。
上記の証明の途中で、

(i)の場合には、が増加すると書きましたが、これは、接線の傾きが増加する(接線が右下がりから右上がりになる)ときに下に凸になると言うことです。
(ii)の場合には、が減少し、接線の傾きが減少する(接線が右上がりから右下がりになる)ときに上に凸になります。

曲線上で、凹凸が変化する点、つまり、下に凸から上に凸に切り替わる点、あるいは、上に凸から下に凸に切り替わる点を、
変曲点と言います。
変曲点の前後での符号が+から−へ、あるいは、−から+へ切り替わります。

例.の増減と凹凸を調べる。

[解答] 

とすると、
とすると、

変曲点は、です。
増減表は以下の通り

x


2
00
0
12

は、で、上に凸で増加することを表します。
は、で、上に凸で減少することを表します。
は、で、下に凸で減少することを表します。
は、で、上に凸で増加することを表します。



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