余弦定理

第1余弦定理
右図のにおいて、




[証明] 頂点Aから対辺BCに下ろした垂線の足をHとします。
より、

同様に、頂点Bから対辺CAに垂線を下ろすことにより、

頂点Cから対辺ABに垂線を下ろすことにより、

(
証明終)
(
三角比三角比の拡張を参照)


第2余弦定理
右図のにおいて、




2余弦定理がいわゆる「余弦定理」です。
[証明] 第1余弦定理より、
・・・@
・・・A
・・・B
Aより、
,Bより、
@に代入すると、

分母を払って整理すると、
同様にして、@,Bで得られたをAに代入することにより、
@,Aで得られたをBに代入することにより、
(
証明終)

余弦定理において、ABCのいずれかが直角であれば、のいずれかがゼロであり、三平方の定理になります。

余弦定理を変形すると、
3辺の長さから、三角形の内角の余弦を求める公式が得られます。




例.3辺が、である三角形の頂角Aの大きさを求めます。
余弦定理より、
よって、 ......[]


   数学基礎事項TOP   数学TOP   CHALLENGE from the VOID   TOPページに戻る

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらる雑誌「大学への数学」購入Newton e-Learning
inserted by FC2 system