センター数学IA '13年第1問
[1] 
，
とする。
[2] 三角形に関する条件p，q，rを次のように定める。
p：三つの内角がすべて異なる。q：直角三角形でないr：
の内角は一つもない 条件pの否定を
で表し、同様に
，
はそれぞれ条件q，rの否定を表すものとする。 (1) 命題「r ⇒ (p または q)」の対偶は「
⇒ 
」である。 
に当てはまるものを、次の
〜
のうちから一つ選べ。
(p かつ q) 
(
かつ 
)
(
または q) (
または 
)(2) 次の〜
のうち、命題「(p または q) ⇒ r」に対する反例となっている三角形は
と
である。 
と
に当てはまるものを、〜のうちから一つずつ選べ。ただし、
と
の解答の順序は問わない。
直角二等辺三角形
内角が
，
，
の三角形
正三角形
三辺の長さが3，4，5の三角形
頂角が
の二等辺三角形(3) rは(p または q)であるための
。 
に当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。
必要十分条件である
必要条件であるが、十分条件ではない
十分条件であるが、必要条件ではない
必要条件でも十分条件でもない
[1] 
(ア) 3 ......[答]
(イ) 2 (ウ) 4 ......[答]
(エ) 2 (オ) 2 ......[答]
より、 (カ) 4 (キ) 2 ......[答]
[2](1) 命題「r ⇒ (p または q)」の対偶は、「(p または 
)でない ⇒ rでない」 つまり、「(
かつ 
) ⇒ 
」(ク) ......[答] (2) の内角が
，
，
の三角形は、三つの内角がすべて異なり、また、直角三角形でもないので、「pまたはq」を満たしますが、
の内角があるので、rを満たしません。 の頂角
の二等辺三角形は、2つの底角が
で直角三角形ではないので、「pまたはq」を満たしますが、
の内角があるので、rを満たしません。
とが「(pまたはq) ⇒ r」の反例です。，，は、いずれも、「pまたはq」を満たしません。(ケ) (コ) ......[答] (3) 命題「(p または q) ⇒ r」は、(2)のように、反例が存在するので偽です。
命題「r ⇒ (p または q)」の対偶は、(1)のように、「(
かつ 
) ⇒ 
」
となりますが、「
かつ 
」という条件は、三つの内角のうちに同じ角があって、かつ、
という内角を含む、という条件になりますが、このときは、
が成り立ちます。つまり、命題「r ⇒ (p または q)」は真です。
従って、rは(p または q)であるための十分条件ですが必要条件ではありません。(サ) ......[答]
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