　大学入学共通テスト数学IA 2022年問題　

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[1][1]　実数a，b，cが

　･･･①

および

　･･･②

を満たしているとする。

(1)

を展開した式において、①と②を用いると

であることがわかる。よって

である。

(2)

の場合に、

の値を求めてみよう。

，

とおくと

である。また、(1)の計算から

が成り立つ。
これらより

である。

[2]　以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて本問末尾の三角比の表を用いてもよい。

太郎さんと花子さんは、キャンプ場のガイドブックにある地図を見ながら、後のように話している。

太郎：キャンプ場の地点Aから山頂Bを見上げる角度はどれくらいかな。

花子：地図アプリを使って、地点Aと山頂Bを含む断面図を調べたら、図1のようになったよ。点Cは、山頂Bから地点Aを通る水平面に下ろした垂線とその水平面との交点のことだよ。

太郎：図1の角度θは、AC，BCの長さを定規で測って、三角比の表を用いて調べたら

だったよ。

花子：本当に

なの？図1の鉛直方向の縮尺と水平方向の縮尺は等しいのかな？

図1のθはちょうど

であったとする。しかし、図1の縮尺は、水平方向が

であるのに対して、鉛直方向は

であった。
実際にキャンプ場の地点Aから山頂Bを見上げる角である

を考えると、

は

となる。したがって、

の大きさは

。ただし、目の高さは無視して考えるものとする。

の解答群

より大きく

より小さい

　ちょうど

である

より大きく

より小さい

　ちょうど

である

より大きく

より小さい

　ちょうど

である

より大きく

より小さい

より大きく

より小さい

　ちょうど

である

より大きく

より小さい

三角比の表

角	正弦(sin)	余弦(cos)	正接(tan)	角	正弦(sin)	余弦(cos)	正接(tan)
0°	0.0000	1.0000	0.0000	45°	0.7071	0.7071	1.0000
1°	0.0175	0.9998	0.0175	46°	0.7193	0.6947	1.0355
2°	0.0349	0.9994	0.0349	47°	0.7314	0.6820	1.0724
3°	0.0523	0.9986	0.0524	48°	0.7431	0.6691	1.1106
4°	0.0698	0.9976	0.0699	49°	0.7547	0.6561	1.1504
5°	0.0872	0.9962	0.0875	50°	0.7660	0.6428	1.1918
6°	0.1045	0.9945	0.1051	51°	0.7771	0.6293	1.2349
7°	0.1219	0.9925	0.1228	52°	0.7880	0.6157	1.2799
8°	0.1392	0.9903	0.1405	53°	0.7986	0.6018	1.3270
9°	0.1564	0.9877	0.1584	54°	0.8090	0.5878	1.3764
10°	0.1736	0.9848	0.1763	55°	0.8192	0.5736	1.4281
11°	0.1908	0.9816	0.1944	56°	0.8290	0.5592	1.4826
12°	0.2079	0.9781	0.2126	57°	0.8387	0.5446	1.5399
13°	0.2250	0.9744	0.2309	58°	0.8480	0.5299	1.6003
14°	0.2419	0.9703	0.2493	59°	0.8572	0.5150	1.6643
15°	0.2588	0.9659	0.2679	60°	0.8660	0.5000	1.7321
16°	0.2756	0.9613	0.2867	61°	0.8746	0.4848	1.8040
17°	0.2924	0.9563	0.3057	62°	0.8829	0.4695	1.8807
18°	0.3090	0.9511	0.3249	63°	0.8910	0.4540	1.9626
19°	0.3256	0.9455	0.3443	64°	0.8988	0.4384	2.0503
20°	0.3420	0.9397	0.3640	65°	0.9063	0.4226	2.1445
21°	0.3584	0.9336	0.3839	66°	0.9135	0.4067	2.2460
22°	0.3746	0.9272	0.4040	67°	0.9205	0.3907	2.3559
23°	0.3907	0.9205	0.4245	68°	0.9272	0.3746	2.4751
24°	0.4067	0.9135	0.4452	69°	0.9336	0.3584	2.6051
25°	0.4226	0.9063	0.4663	70°	0.9397	0.3420	2.7475
26°	0.4384	0.8988	0.4877	71°	0.9455	0.3256	2.9042
27°	0.4540	0.8910	0.5095	72°	0.9511	0.3090	3.0777
28°	0.4695	0.8829	0.5317	73°	0.9563	0.2924	3.2709
29°	0.4848	0.8746	0.5543	74°	0.9613	0.2756	3.4874
30°	0.5000	0.8660	0.5774	75°	0.9659	0.2588	3.7321
31°	0.5150	0.8572	0.6009	76°	0.9703	0.2419	4.0108
32°	0.5299	0.8480	0.6249	77°	0.9744	0.2250	4.3315
33°	0.5446	0.8387	0.6494	78°	0.9781	0.2079	4.7046
34°	0.5592	0.8290	0.6745	79°	0.9816	0.1908	5.1446
35°	0.5736	0.8192	0.7002	80°	0.9848	0.1736	5.6713
36°	0.5878	0.8090	0.7265	81°	0.9877	0.1564	6.3138
37°	0.6018	0.7986	0.7536	82°	0.9903	0.1392	7.1154
38°	0.6157	0.7880	0.7813	83°	0.9925	0.1219	8.1443
39°	0.6293	0.7771	0.8098	84°	0.9945	0.1045	9.5144
40°	0.6428	0.7660	0.8391	85°	0.9962	0.0872	11.4301
41°	0.6561	0.7547	0.8693	86°	0.9976	0.0698	14.3007
42°	0.6691	0.7431	0.9004	87°	0.9986	0.0523	19.0811
43°	0.6820	0.7314	0.9325	88°	0.9994	0.0349	28.6363
44°	0.6947	0.7193	0.9657	89°	0.9998	0.0175	57.2900
45°	0.7071	0.7071	1.0000	90°	1.0000	0.0000	－

[3]　外接円の半径が3である△ABCを考える。点Aから直線BCに引いた垂線と直線BCとの交点をDとする。

(1)

，

とする。このとき

，

である。

(2) 2辺AB，ACの間に

の関係があるとする。

このとき、ABの長さのとり得る値の範囲は

であり

と表されるので、ADの長さの最大値は

である。

[解答へ]

[2][1]　p，qを実数とする。

花子さんと太郎さんは、次の二つの2次方程式について考えている。

　･･･①

　･･･②

①または②を満たす実数xの個数をnとおく。

(1)

，

のとき、

である。

また、

，

のとき、

である。

(2)

のとき、

になる場合を考える。

花子：例えば、①と②をともに満たす実数xがあるときは

になりそうだね。

太郎：それをaとしたら、

と

が成り立つよ。

花子：なるほど。それならば、

を消去すれば、aの値が求められそうだね。

太郎：確かにaの値が求まるけど、実際に

になっているかどうかの確認が必要だね。

花子：これ以外にも

となる場合がありそうだね。

となるqの値は

である。ただし、

とする。

(3) 花子さんと太郎さんは、グラフ表示ソフトを用いて、①，②の左辺をyとおいた2次関数

と

のグラフの動きを考えている。

に固定したまま、qの値だけを変化させる。

　･･･③

　･･･④

の二つのグラフについて、

のときのグラフを点線で、qの値を1から増加させたときのグラフを実線でそれぞれ表す。このとき、③のグラフの移動の様子を示すと

となり、④のグラフの移動の様子を示すと

となる。

，

については、最も適当なものを、右図の

～

のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。なお、x軸とy軸は省略しているが、x軸は右方向、y軸は上方向がそれぞれ正の方向である。

(4)

とする。全体集合Uを実数全体の集合とし、Uの部分集合A，Bを

とする。Uの部分集合Xに対し、Xの補集合を

と表す。このとき、次のことが成り立つ。

・

は、

であるための

。

・

は、

であるための

。

，

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

　必要条件であるが、十分条件ではない

　十分条件であるが、必要条件ではない

　必要十分条件である

　必要条件でも十分条件でもない

[2]　日本国外における日本語教育の状況を調べるために、ある行政機関では「海外日本語教育機関調査」を実施しており、各国における教育機関数、教員数、学習者数が調べられている。2018年度において学習者数が5000人以上の国と地域(以下、国)は29か国であった。これら29か国について、2009年度と2018年度のデータが得られている。

(1) 各国において、学習者数を教員数で割ることにより、国ごとの「教員1人あたりの学習者数」を算出することができる。図1と図2は、2009年度および2018年度における「教員1人あたりの学習者数」のヒストグラムである。これら二つのヒストグラムから、9年間の変化に関して、後のことが読み取れる。なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の数値を含み、右側の数値を含まない。

・2009年度と2018年度の中央値が含まれる階級の階級値を比較すると、

。

・2009年度と2018年度の第1四分位数が含まれる階級の階級値を比較すると、

。

・2009年度と2018年度の第3四分位数が含まれる階級の階級値を比較すると、

。

・2009年度と2018年度の範囲を比較すると、

。

・2009年度と2018年度の四分位範囲を比較すると、

。

～

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

　2018年度の方が小さい

　2018年度の方が大きい

　両者は等しい

　これら二つのヒストグラムからだけでは両者の大小を判断できない

(2) 各国において、学習者数を教育機関数で割ることにより、「教育機関1機関あたりの学習者数」も算出した。図3は、2009年度における「教育機関1機関あたりの学習者数」の箱ひげ図である。

2009年度について、「教育機関1機関あたりの学習者数」(横軸)と「教員1人あたりの学習者数」(縦軸)の散布図は

である。ここで、2009年度における「教員1人あたりの学習者数」のヒストグラムである(1)の図1を、図4として再掲しておく。

については、最も適当なものを、右図の

～

のうちから一つ選べ。なお、これらの散布図には、完全に重なっている点はない。

(3)　各国における2018年度の学習者数を100としたときの2009年度の学習者数S，および、各国における2018年度の教員数を100としたときの2009年度の教員数Tを算出した。

例えば、学習者数について説明すると、ある国において、2009年度が44272人、2018年度が174521人であった場合、2009年度の学習者数Sは

より

と算出される。
表1はSとTについて、平均値、標準偏差および共分散を計算したものである。ただし、SとTの共分散は、Sの偏差とTの偏差の積の平均値である。
表1の数値が四捨五入していない正確な値であるとして、SとTの相関係数を求めると

である。

表1　平均値、標準偏差および共分散


81.8	72.9	39.3	29.9	735.3

(4)　表1と(3)で求めた相関係数を参考にすると、(3)で算出した2009年度のS (横軸)とT (縦軸)の散布図は

である。

については、最も適当なものを、右図の

～

のうちから一つ選べ。なお、これらの散布図には、完全に重なっている点はない。

注．原問題文には弊塾とは関係のない実在の団体名が含まれるため、問題文を改変しました。問題を解く上では影響ありません。原問題文は、大学入試センターの過去問を参照してください。
[解答へ]

[3]　複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り、交換会を開く。ただし、プレゼントはすべて異なるとする。プレゼントの交換は次の手順で行う。

手順

外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、各参加者に袋をでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中のプレゼントを受け取る。

交換の結果、1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換をやり直す。そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったところで交換会を終了する。

(1)　2人または3人で交換会を開く場合を考える。

(i) 2人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は

通りある。したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は

である。

(ii) 3人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は

通りある。したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は

である。

(iii) 3人で交換会を開く場合、4回以下の交換で交換会が終了する確率は

である。

(2)　4人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率を次の構想に基づいて求めてみよう。

構想

1回目の交換で交換会が終了しないプレゼントの受け取り方の総数を求める。そのために、自分の持参したプレゼントを受け取る人数によって場合分けする。

1回目の交換で、4人のうち、ちょうど1人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は

通りあり、ちょうど2人が自分のプレゼントを受け取る場合は

通りある。このように考えていくと、1回目のプレゼントの受け取り方のうち、1回目の交換で交換会が終了しない受け取り方の総数は

である。
したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は

である。

(3)　5人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率は

である。

(4)　A，B，C，D，Eの5人が交換会を開く。1回目の交換でA，B，C，Dがそれぞれ自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったとき、その回で交換会が終了する条件付き確率は

である。

[解答へ]

[4](1)　

を

で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、不定方程式

　･･･①

の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは

，

であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは

，

である。

(2)　次に

を

で割ったときの余りと、

で割ったときの余りについて考えてみよう。

まず、

であり、また、

とすると

である。これらより、

を

で割ったときの余りと、

で割ったときの余りがわかる。

(3)　(2)の考察は、不定方程式

　･･･②

の整数解を調べるために利用できる。
x，yを②の整数解とする。

は

の倍数であり、

で割ったときの余りは1となる。よって、(2)により、

は

でも

でも割り切れる。

と

は互いに素なので、

は

の倍数である。
このことから、②の整数解のうち、xが3桁の正の整数で最小になるのは

，

であることがわかる。

(4)　

を

で割ったときの余りは1に等しい。不定方程式

の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは

，

である。

[解答へ]

[5]　△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP，直線DFと辺ACの交点をQとする。

(1)　点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく

である。また、点Fの位置に関係なく

，

であるので、つねに

となる。

，

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

(2)　

，

とし、(1)と同様に、点Dは線分AGの中点であるとする。ここで、4点B，C，Q，Pが同一円周上にあるように点Fをとる。

このとき、

であるから

，

であり

である。

(3)　△ABCの形状や点Fの位置に関係なく、つなに

となるのは、

のときである。

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