センター数学IIB '11年第1問
[1] 
のとき、関数 の最小値を求めよう。
とおくと であるから
となる。また
である。
のとり得る値の範囲は であるから、t のとり得る値の範囲は
である。したがって、yは
，すなわち
のとき、最小値
をとる。
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解答 この問題は落とせません。
とおくと、
(ア) 2 (イ) 2 (ウ) 3 (エ) 1 ......[答]
これより、
･･･②
①より、
(キ) 2 (ク) 3 ......[答]
のとき、
∴ 
(ケ) 6 ......[答]
，
より、
(コ) － (サ) 1 (シ) 3 ......[答]
②より、
は③の範囲に含まれるので、yは
で最小となります(2次関数の最大・最小を参照)。
のとき、
よって、yは、
，即ち
のとき、最小値
をとります。
(ス) 1 (セ) 6 (ソ) － (タ) 3 ......[答]
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[2] 自然数xで、条件
･･･①
･･･②を満たすものを求めよう。
まず、xを正の実数として、条件①を考える。①は
とおくと となる。この2次方程式を解くと
，
となる。したがって、条件①を満たす最小の自然数xは
であり、
以上のすべての自然数xは①を満たす。
次に、条件②について考えると、②を満たす最大の自然数xは
であり、
以下のすべての自然数xは②を満たす。
したがって、求めるxは
以上
以下の自然数である。
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解答 対数の基本問題です。整数がからんでいると言っても大したことはありません。
①より、
∴ 
，
(チ) 7 (ツ) 2 (テ) 0 (ト) 4 (ナ) 3 (ニ) 5 (ヌ) 2 ......[答]
xは自然数で
なので、
です。従って、
を満たす最小の自然数は6で、6以上のすべての自然数xは①を満たします。
(ネ) 6 ......[答]
②の左辺は、xも単調増加、
も単調増加なので、
も単調増加です。②のxに適当に数値代入して、②の成立不成立を調べます。
としてみると、
，成立します。
としてみると、
より、
，成立します。
としてみると、
より、
，成立します。
としてみると、
より、
，②は成立しません。
従って、②を満たす最大の自然数xは11であり、11以下のすべての自然数xは②を満たします。
(ノ) 1 (ハ) 1 ......[答]
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，
，
，
･･･①
，
∴ 
，
(
)
