共通テスト数学IIB '23年第1問
[1] 三角関数の値の大小関係について考えよう。
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
(2) 
と
の値の大小関係を詳しく調べよう。 であるから、
が成り立つことは 「
かつ 
」 ･･･① または
「
かつ 
」 ･･･② が成り立つことと同値である。
のとき、①が成り立つようなxの値の範囲は であり、②が成り立つようなxの値の範囲は
である。よって、
のとき、
が成り立つようなxの値の範囲は 
，
である。
(3) 
と
の値の大小関係を調べよう。 三角関数の加法定理を用いると、等式
･･･③が得られる。
，
を満たすα，βに対して③を用いることにより、
が成り立つことは 「
かつ 
」 ･･･④ または
「
かつ 
」 ･･･⑤ が成り立つことと同値であることがわかる。
のとき、④，⑤により、
が成り立つようなxの値の範囲は 
，
である。
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
(4) (2)，(3)の考察から、
のとき、
が成り立つようなxの値の範囲は 
，
であることがわかる。
の解答群
(2) 様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。
(i) 
，
であり、どちらも有理数である。
(ii) 
が有理数と無理数のどちらであるかを考えよう。 
が有理数であると仮定すると、
であるので、二つの自然数p，qを用いて
と表すことができる。このとき、(1)により
は
と変形できる。いま、2は偶数であり3は奇数であるので、
を満たす自然数p，qは存在しない。
したがって、
は無理数だとわかる。
(iii) a，bを2以上の自然数とするとき、(ii)と同様に考えると、「
ならば
はつねに無理数である」ことがわかる。 
の解答群
の解答群
aが偶数
bが偶数
aが奇数
bが奇数
aとbがともに偶数、またはaとbがともに奇数
aとbのいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数
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解答 昨年の第1問と同様、基礎学力を見る共通テストとしては、本問の方針があるべき姿だと思います。
[1](1) 
のとき、
，
より(三角関数を参照)、
ア 0 ......[答]
(2) 
(2倍角の公式を参照) ウ 2 エ 1 ......[答] 
のとき、
より
，
より
または
(三角関数を含む方程式・不等式を参照)，よって、
オ 3 ......[答]
②が成り立つなら、
より
，
より
，よって、
カ 5 キ 3 ......[答]つまり、
のとき
が成り立つxの範囲は、
，
･･･⑥
ク a ケ 7 ......[答]
または、
「
かつ 
」 ･･･⑤ が成り立つことと同値です。
のとき、
，
④より、「
，
」かつ
∴ 
，
⑤では
が不成立。
よって、
となるxの範囲は、 
，
･･･⑦コ 7 サ 3 シ 7 ス 5 セ 7 ......[答]
(4) 
のとき、⑦より、
となるのは、
，
(
のとき、
) 
となるのは、⑥を利用して、
，
∴ 
，
よって、
が成り立つようなxの範囲は、
，
ソ 6 タ 5 チ 6 ......[答]
[2](1) 
⇔ 
(対数関数を参照) ツ 2 ......[答]
(2)(i) 
テ 2 ......[答] 
ト 3 ナ 2 ......[答]
(ii) 自然数p，qを用いて、
とおくと、
両辺をq乗して、
ニ 5 ......[答]
は偶数で、
は奇数なので、両者が等しくなることはなく、
が成立しないので、
は有理数ではなく、無理数です(実数を参照)。
同様に、自然数p，qを用いて、
とおくと、
両辺をq乗して、
a，bの偶奇が異なる時、この等式は成立せず、
は無理数です。 ヌ 5 ......[答]
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のとき
であり、
のとき
である。
，
，
のとき、
とおくと、
が成り立つ。
のとき、
，
より、
イ 2 ......[答]
，
より、
，
が成り立つことは、
かつ 
」 ･･･④