3次関数の最大・最小

1における最大値と最小値を求める。
[解答]  (微分を参照)
とすると、
:極小値
:極大値
:区間の左端での関数値
:区間の右端での関数値
増減表は
(3次関数の増減を参照)
x0146
00
13
以上より、最大値:,最小値: ......[]

2における最大値と最小値を求める。
[解答] 
とすると、ですが、aの大小関係は不明です。このときには、となる場合、となる場合、となる場合に、分けて考える必要があります。
となるのは、のときです。
となるのは、のときです。
となるのは、のときです。


(i)
のとき、ですが、か不明です。これも場合分けして考える必要があります。

(i-1) のとき、で、増減表は以下のようになります。
x0a1
0
0
増減表から、最小値:になることはわかりますが、0の大小関係がわかりません。
とすると、なので、です。
そこで、さらに場合分けが必要で、
(i-1-1) のとき、なので、最大値:です。
(i-1-2) のとき、なので、最大値:です。
(i-1-3) のとき、なので、最大値:です。

(i-2) のとき、,増減表は以下のようになります。
x01
0
0
最大値:,最小値:です。

(i-3) のとき、増減表は以下のようになります。
x01
0
最大値:,最小値:です。

(ii) のとき、ですが、か不明です。に場合分けして考えます。

(ii-1) のとき、で増減表は以下のようになります。
x01
0
0
(i-1)と同様の場合分けを行いますが、今度は、なので、以下のような場合分けとなります。
(ii-1-1) のとき、なので、最大値:,最小値:
(ii-1-2)
のとき、なので、最大値:,最小値:
(ii-1-3)
のとき、なので、最大値:,最小値:

(ii-2)
のとき、ですが、で、増減表は以下のようになります。
x01
0
0
最大値:,最小値:です。

(ii-3) のとき、,増減表は以下の通り。
x01
0
最大値:,最小値:

(iii)
のとき、において単調増加で、最大値:,最小値:

以上をまとめると、
最大値:
,最小値: ......[]

3次関数の最大・最小(2)に続く。


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