減衰振動関数

この項目については、物理への応用(その2)を参照してください。
として、xの関数:の挙動について調べます。
この関数は、
xを時間とみると、減衰振動している物体の座標を表す関数です。
まず、グラフを調べてみます。

 
dは、を満たす角で、より第2象限の角 ()
とすると、
よって、nを整数として、

として、のとき、
として、のとき、
これより、における増減表は以下のようになります。
より、であることに注意してください。
x0
00
y00
増減表より、グラフは右図(黒が,黄緑が,緑が,橙が,但し、見易いようにy方向の縮尺を曲線ごとに変えています)
は、で極大、で極小になりますが、減衰振動関数: では、極大位置と極小位置が若干左にずれることに注意してください。では、が共有点をもつだけで、減衰振動関数は、極大、極小にはなりません。
のときには、より、において極大、において極小。
のときには、より、において極大、において極小。

減衰振動関数:
の部分とx軸で囲まれた部分の面積Sを求めるという問題が大学入試で頻出です。
のグラフは、jを整数として、においては、よりx軸の上側にあり、においては、よりx軸の下側にきます。面積を計算するに当たり、定型的な考え方をするのであれば、x軸の上側にくる部分と、x軸の下側に来る部分とに分けて計算する必要があります。
しかし、
置換積分をすることにより、場合分けなしで計算する方法があります。
Sを式で表すと、の範囲との範囲で積分区間を分ける必要があり、

となります。

ここで、となっている積分区間を、とするために、

とおきます。この置き換えをしっかり覚えてください。

t
で両辺を微分して、

x
のとき、t
よって、

ここで、であり、にはtが含まれず、tに関する積分の外に出すことができます。また、つまり、においては、なので、

従って、

 (部分積分法を参照)
 
 
 
 
 



よって、求める面積Sは、

これは、初項:,公比:無限等比級数であって、より、であり、無限等比級数は収束して和を持ちます。従って、
 (最後に分母・分子にをかけました)


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