行列の対角化

2次正方行列2つのベクトルにかけられて、
 ・・・@
 ・・・A
という
2式ができたとします。
この
2式を1つの式にまとめる、という技巧があります。

という行列の積の計算をよく眺めると、
 ・・・B
という形をしていることがわかります。

同様に、
2次正方行列と、2つの実数2つのベクトルがあるときに、


という2つの式をBを用いて1つにまとめることを考えます。

と書けるので、
 ・・・C
と書くことができます。

n次正方行列Aが、相異なる固有値,・・・,をもち、固有値,・・・,に対応する固有ベクトルが,・・・,だとすると、
,・・・,
が成り立ちます。これらについても、Cと全く同様にして、行列を用いて1つにまとめて表すことができます。
 ・・・D
行列
Aの固有ベクトル,・・・,を横に並べてできる行列をとすると、,・・・,1次独立(固有値・固有ベクトルを参照)なので、Pは逆行列をもちます。Dは、Pを用いて、

と書くことができます。ここで、を左からかけると、

つまり、n次正方行列Aが相異なる固有値をもつときに、固有ベクトルを横に並べてできる行列をPとして、Aの左からをかけ、Aの右からPをかけると、固有値が対角成分となりそれ以外の成分はすべて0であるような行列になります。この操作を行列の対角化と言います。
注.実は、固有方程式:
l重解をもつ場合であっても、固有値に対応する固有ベクトルがl個ある場合には、行列Aを対角化することができます。このときには、固有ベクトルを横に並べた行列をPとして、Aを対角化すると、のように、対角成分にl個並びます。
固有方程式:
l重解をもつ場合、固有値に対応する固有ベクトルがl個未満の場合には、行列Aを対角化することはできず、類似の操作を行うと、Jordanの標準形と呼ばれる形になります。
2次正方行列の場合では、固有方程式が重解をもつと、に対する固有ベクトルは1つしか存在せず、対角化することはできません。

1を対角化する。
固有方程式は、
より、


のとき、

例えば、
固有値2に対応する固有ベクトルは、tを実数として、
のとき、

例えば、
固有値3に対応する固有ベクトルは、sを実数として、
よって、とすると、


2は、固有方程式が重解をもち対角化できない。
固有方程式は、
 

のとき、

例えば、
固有値に対応する固有ベクトルは、tを実数として、
これ以外に固有ベクトルはありません。そこで、
となるベクトルを考えます。


例えば、
を固有ベクトルの代用として、を考えます。

この形は、対角成分に固有値が重解なので2個並び、固有値が並んだ右側に1が来ている形で、Jordanの標準形と言われています。
なぜこういう形になるかと言うと、
として、
1つにまとめて書くと、

となるからです。
のようにとるのは、とするためです。

3を対角化する。
固有方程式は、
 

のとき、

これを満たすのは、例えば、,または、
よって、固有値1に対応する固有ベクトルは、
のとき、

これを満たすのは、例えば、
よって、固有値2に対応する固有ベクトルは、
とすると、

 


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