微分方程式(その2)   関連問題


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微分方程式の続きです。

線形
1階微分方程式と呼ばれるタイプがあります。y1次式で表される微分方程式です。
 ・・・@
のような形をしています。まず、
という変数分離型の微分方程式を考えます。を移項して、を両辺にかけyで割ることにより、

とすると、
 (C:積分定数)
と置き直すと、
ここで@の解を考えるのですが、今定数としているDxの関数として、と置き直したものが@の解になると考えます。この技巧を定数変化法と言います。
 ・・・A として、


 ( A)
これを@に代入して、
これより、

Aに代入すると、
 (ただし、)
が解になります。

1. 右図のような、起電力Vの交流電源と抵抗RとコイルLが直列に接続された電気回路で、起電力がのように変化するとき、回路に流れる電流を求める。
[解答] 電流をIとして、抵抗両端の電圧は,コイル両端の電圧は
キルヒホッフの第
2法則により、回路の電圧降下と起電力が等しく、
よって、
 ・・・B
という微分方程式が得られます。まず、
(電源がない場合に相当します)を解くと、


 (C:積分定数)
Bの解を求めるために、定数に置き換えて、
 ・・・C
をBに代入します。



 ・・・D




 ( D)

 (C:積分定数)
Cに代入すると、
......[]

物理への応用(その2)で出てきた、
のように、2階の微分、1階の微分、もとの関数の1次式で表されるタイプを線形2階微分方程式と言います。
線形
2階微分方程式のうち、定数係数のものを考えます。
 ・・・E
いろいろな解法があるのですが、ここでは、Eを形式的に以下のように書き換えます。
 ・・・F
微分を含む式を因数分解するので、驚くかも知れませんが、右側を通常の数式と全く同様に展開してみると、
となり、であればよいことになります。つまり、tに関する2次方程式:2解をαβ として、F式を考えればよいのです。
さて、とし、F式を見て、を満たす解をとすると、なので、はFの解です。
同様にFは、とも書けるので、を満たす解をとすると、もFの解です。
を満たすので、



 (:積分定数)
同様に、の解は、を定数として、
ここで、という関数を考えると、

 
となり、として、

 ・・・G
(この形を、ベクトルのにならって一次結合と言います)はFの解になっています。

の場合には、Fは、となりますが、中カッコの中を
zとすると、の解はcを定数として、
よって、の解を、線形
1階微分方程式で用いた定数変化法を用いて、として代入すると、


 (cdは定数)
Fが、となったときの解は、となります。

の場合に戻ります。

2次方程式:が、判別式:であって、αβ がともに実数の場合には,Gで問題ありませんが、であって、αβ が虚数の場合には、 (iは虚数単位)だとして、Fの解が、
ということになってしまいます。このときには、オイラーの公式を用い、として、
yが実数であるなら、
となります。
pqが実数であるときには、となり、
となるように、を決めておけば、
この場合には、解を、
の形に書くことができます(の形でもよい)の場合には、減衰振動(物理への応用(その2)を参照)を表します。


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