確率分布   関連問題


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サイコロを振ったとき、4が出たら26が出たら135が出たらだとします。
1回サイコロを振って、になる確率になる確率はになる確率はです。この状況を表にして表すと、
X012
1

このように、Xがとりうる値xに対して確率が決まる関係を、確率分布と言います。また、X確率変数と言います。
一般的に、
n個の要素をもつ集合Uの要素 ()について、のとき、確率が定まり、かつであるときに、Xを確率変数と言い、Xがとりうる値に対して確率が以下の表()のように決まる関係を確率分布と言います。
X・・・
・・・1

このとき、確率変数Xは、上記の表()で定まる確率分布に従う、という言い方をします。
また、以上のように集合
Uの要素が有限個か、あるいは、仮に無限個あったとしても集合U1個、2個、3個、・・・と数えていけるようなものである場合には、確率変数を特に離散型確率変数、確率分布を離散型確率分布と言います。

確率変数
Xが表()で定まる確率分布に従うとき、
X平均または期待値と言います。
最初に出てきた確率分布、

X012
1

においては、Xの期待値は、となります。

集合
Uの要素の個数をUの部分集合 ()について、すべての部分集合の相異なるどの2 ()についてもかつであるとき、集合の個数をとすると、です。
集合のすべての要素について、確率変数
Xという値をとるとします。集合Uのすべての要素について同様に確からしいとすると、確率変数Xという値をとる確率です。このとき、確率変数Xの平均
は、Uの全要素がとる値の平均値、つまりXの平均値です。

再び、
n個の要素,・・・,からなる集合Uのもとで、確率変数Xという値をとる確率をとする確率分布を考えます。平均と同様に、,・・・,のデータの散らばりの程度を表す量、即ちX分散を、として、,・・・,という値をとる確率変数の平均(期待値)と考えて、
として定義します。また、X標準偏差です。確率分布における分散についても、
ここで、より、
となります。つまり、の平均からXの平均の2乗を引くことによりXの分散を求めることができます。

確率変数
Xが、表()で表される確率分布に従うとします。このとき、abを定数として、によって、新たな確率変数Yを考え、のとき、として確率変数Yとなるとき、このXYの対応関係を、Xに対する確率変数の変換と言います。 ()のとき、として、となりますが、となる確率は、となる確率に等しく、です。このとき、Yの平均と分散は、より、

標準偏差については、


()に対して、以下の性質を満たす確率が定まるとき、この関係を確率分布、Xを確率変数と言う。
確率変数Xの平均(期待値)(とする)
確率変数Xの分散:
確率変数
Xの標準偏差:
確率変数の変換:
(abは定数)に対して、
確率変数Yの平均:
確率変数
Yの分散:,確率変数Yの標準偏差:




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