内分・外分


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右上図において、線分AB上に点Cがあり、ACCB = mnであるとき、点CABmn内分する点と言います。
右下図において、直線
AB上に点C (右下図では、線分ABB側への延長上にCがあるように描かれています)があり、ACCB = mnであるとき、点CABmn外分する点と言います。右下図では、です。
の場合には、
ABmnに外分する点は、線分ABA側への延長上にきます。

右の左図で、三角形
ABCにおいてだとすると、ADDB = AEECです。ADDB = mnであれば、点Dは線分ABmnに内分する点であり、点Eは線分ACmnに内分する点です。
右の右図で、線分
ABA側の延長上に点D,線分ACA側の延長上に点Eをとりだとすると、ABAD = ACAEです。ABAD = mnであれば、点Aは、線分BDmnに内分する点であり、線分CEmnに内分する点です。
また、点
Dは線分BAnに外分する点で、点Eは線分CAnに外分する点です。

定理:三角形
ABCの二等分線は、辺BCを、ABACに内分する。
[証明] 頂点Cを通りDAに平行な直線と直線BAの交点をPとすると、 (錯角) (同位角)よりであり、三角形APCは二等辺三角形で、AC = AP,従って、より、BDDC = BAAP = BAAC (証明終)
この定理により、右上図でABAC = mnとして、の二等分線と辺BCの交点Dは、辺BCmnに内分する点です。また、この定理の逆も成立します。
定理:である三角形
ABCの外角の二等分線は、辺BCを、ABACに外分する。
[証明] とします。線分BAA側への延長上に点Xをとる。頂点Cを通りDAに平行な直線と辺BAの交点をPとすると、 (錯角) (同位角)よりであり、三角形APCは二等辺三角形で、AC = AP,従って、より、BDDC = BAAP = BAAC (証明終)
この定理により、右下図でABAC = mnとして、の外角の二等分線と直線BCの交点Dは、辺BCmnに外分する点です。また、この定理の逆も成立します。



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