座標平面における内分・外分

1直線上に異なる3PQRがあって、Rが線分PQ上にあって、PRQR = mn であるとき、Rは線分PQmn内分すると言い、R内分点と言う。
また、
Rが線分PQ上になく、PRQR = mnであるとき、Rは線分PQmn外分すると言い、R外分点と言う。
数直線上に、2があるとき、
線分
PQmnに内分する点Rの座標は、
線分
PQmnに外分する点Rの座標は、

内分点では、内分比に出てくる数値の和が分母に来て、2点の座標の値にそれぞれの点から遠い方の比の数値をかけたものが分子に来る、という形をしています。
外分点は、外分比に出てくる数値の片方にマイナスをつけて、内分点と同様に考えれば
OK

公式を証明しておきます。
線分
PQmnに内分する点Rの座標をx (の場合も同様です)だとして、
= mn より、


線分PQmnに外分する点Rの座標をx (の場合も同様です)だとして、
= mn より、



特に、のとき、PQ11に内分する点(線分PQの中点)の座標は、となります。


座標平面上に2PQがあるとき、
線分
PQmnに内分する点Rの座標は、
線分PQmnに外分する点Rの座標は、

x座標だけ見れば、数直線上での内分点、外分点と同じです。y座標もxyに変えたものになるだけです。
内分点
Rについては、右図で、線分mnに内分する点が,線分mnに内分する点がと考えて、数直線上での内分点の公式を用いれば明らかでしょう。
外分点も同様です。

例.
3ABCが与えられているとき、の重心Gの座標を求めてみます。
線分
BCの中点Mの座標は、
G
は線分AC21に内分する点です。Gx座標は、
同様にGy座標も
よって、重心Gの座標は、


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