固有値・固有ベクトル 関連問題
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この項目は、逆行列、行列と連立1次方程式を参照してください。
正方行列Aに対して、連立方程式：
が、
以外の解をもつときのkの値を、行列Aの固有値と言う。また、そのkの値に対する
を、固有値kに対する固有ベクトルと言う。
行列Aの固有値kは、方程式：
の解として求められる。この方程式を固有方程式と言う。
は、ベクトル
に行列Aをかけたものが、もとのベクトルと平行になるということを意味しています。
右辺を、
として左辺に移項すると、
ここで、
が存在するとして、左からかけると、
∴ 
となるので、
は存在せず、
(逆行列(その3)を参照)
Aがn次正方行列だとして、固有方程式を、成分を入れて書くと、
固有方程式は、
という項を含むので、kについてn次方程式になります。
従って、n次方程式の解である、n次正方行列の固有値は、最大でn個あることになります。
固有方程式において、
という項は、
という項からしか出てきません。
これを展開して、
の係数が1になるように書くと、
という形になります。このときに出てくる、行列Aの対角成分の和：
を行列Aの対角和と言い、
と表します。また、固有方程式の定数項は、
で
としたもの、つまり、
に一致します。従って、固有方程式は、
･･･①
という形をしています。
大学入試で登場する固有方程式のほとんどは2次の正方行列
に関するものです。
の場合、固有方程式は、
となり、①の形をしています。
例．
のとき、
(
)を満たす実数k (固有値)とベクトル
(固有ベクトル)を求める。
[解答] 
∴ 
......[答]
行列Aの固有値は2と3です。
のとき、
∴ 
例えば、
，
固有値2に対応する固有ベクトルは、tを実数として、
のとき、
∴ 
例えば、
固有値3に対応する固有ベクトルは、sを実数として、
求める
は、
のとき、
，
のとき、
......[答]
行列Aには、固有の方向が、
の方向と
の方向の2つあって、
と平行なベクトルにAをかけると2倍され、
と平行なベクトルにAをかけると3倍される、ということを言っています。
なお、n次正方行列Aの異なる固有値に対する固有ベクトル
，
，･･･は1次独立です。なぜなら、あるi，j (
，
，
)をとり、異なる固有値
，
に対する固有ベクトル
，
について、
(pは実数)と書けたとすると、
より、
，
という2通りの式が書けてしまい、辺々引くと、
より、
となって、異なる固有値
，
とした仮定と矛盾するからです。
従って、n次正方行列Aの異なる固有値に対するn個の固有ベクトル(が、存在したとして)を並べて作った行列：
という形の行列を作ると、Pは正則(逆行列
が存在する)です。なぜなら、固有ベクトルは零ベクトルでなく、行列式の性質より、
(pは実数)と書けなければ、
だからです。
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