楕円

標準形: ()
楕円の定義:2定点(焦点と言う)からの距離の和が一定である点の集合を楕円と言う。
2焦点の中点を楕円の中心と言う。
2焦点を結ぶ直線と楕円との交点を両端とする線分を楕円の長軸、長軸と楕円の中心で直交する直線と楕円との交点を両端とする線分を短軸と言う。

楕円の定義から、楕円の方程式の標準形を導いてみます。
2焦点を、F2焦点までの距離の和を ()とします。
楕円上の点
P2焦点までの距離の和は、


両辺を2乗すると、





 ・・・@ とおいて、両辺をで割ると、


ここで、とすると、とすると、
を楕円の頂点と言います。頂点は、長軸、短軸の端点になっています。
また、長軸の長さは
,短軸の長さはです。

@式より、楕円:
の焦点の座標について、 (のときには楕円は円になります)のとき、 (右図1参照)
のときには、右図2にように、長軸と短軸が入れ替わり、長軸がy軸上、短軸がx軸上に来ます。また、焦点はy軸上にあり、その座標について、となります。

楕円の方程式:
を満たす点に対して、xのところにを代入しても、yのところにを代入しても、楕円の方程式は成り立ちます。ということは、楕円は、x軸に関しても、y軸に関しても、原点に関しても対称だということです。

楕円:
に接する傾きmの接線を求めてみます。
楕円の方程式に
をかけて、
と連立して、
整理して、
この2次方程式は重解を持ちます(2次方程式の一般論を参照)
よって、判別式:
整理すると、


よって求める傾きmの接線は、

楕円の方程式:の両辺を陰関数の微分法で微分すると、


楕円上の点における接線の傾きは、
における接線は、
 ・・・A
は楕円上の点なので、を満たすので、A式をで割ることにより、

よって、における接線は、

楕円:が囲む部分の面積は、です(定積分と面積(その2)を参照)

楕円の方程式:
を、
と見て、とおくと、となります。
楕円上の各点の
y座標を倍すると、円:上に移ってくることがわかります。
逆に、円:
上の各点のy座標を倍した点の集合が楕円:であると言うこともできます。


   数学基礎事項TOP   数学TOP   CHALLENGE from the VOID   TOPページに戻る

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらる雑誌「大学への数学」購入Newton e-Learning
inserted by FC2 system