エピサイクロイド

として、媒介変数表示:で表される曲線をエピサイクロイドと言う。

として、半径の円に外接したまま、半径bの円が滑ることなく回転していくときに、の周上の動点Pが描く曲線がエピサイクロイドです。
の中心が原点Oで、円の中心が最初に右図の点Bにあって点Cで円に接しており、の周上の動点Pが最初に右図の点Aにあるとします。
と外接しながら回転し、の中心Qが右図のように、となるような位置まで来たとします。このときに、最初に点Cに接していた上の点は右図の点R (の接点、すなわち、線分OQとの交点をTとして、となる点)まで来ます。動点Pは、線分PRが円の直径であるように動くので、右図のように、となる位置まで来ます。
このとき、
がつねに接するように動くので、弧と弧の長さは等しくなります。
より、

のまわりを1周したときに、動点Pがちょうどn周して点Aに戻ってくるものとする(これはエピサイクロイドの必要条件ではありません)と、が、のときに、n ()になります。よって、

 ・・・@
さて、右図において、
の中心Qは、半径aの円周上をx軸から角q だけ回った位置にあるので、

動点Pは、@より、半径の円の周上を右図でから角だけ回った位置にあるので、


これより、点Px座標、y座標について、

という媒介変数表示が得られます。

のときは、Pの軌跡は円周です。

のときは、媒介変数表示は、

となりますが、これはカージオイドです。
図示すると、右図のようになります。
のときは、媒介変数表示は、

図示すると、右図のようになります。
のときは、媒介変数表示は、

図示すると、右図のようになります。
のときは、媒介変数表示は、

図示すると、右図のようになります。
上記のエピサイクロイドの曲線の長さを求めてみます。
上にに示すように、エピサイクロイドは花びらが円周のまわりを取り囲むような形をしています。

 
   
 
動点Pの周上に来るのは、
とおくと、

k
を整数として、,つまり、のとき。
従って、花びら
1枚分に相当するq の範囲は、であって、枚の花びらができます。


 
  
 
 
()
求める曲線の長さは、

  (不定積分の公式を参照)
 
 


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