偶関数・奇関数の積分

のグラフがy軸に関して対称であるとき、つまり、定義域内のxに関して、が成り立つとき、偶関数と言う。
のグラフが原点に関して対称であるとき、つまり、定義域内のxに関して、が成り立つとき、奇関数と言う。
(1) が偶関数であるとき、
 
(2)
が奇関数であるとき、
 

[証明](1)について、
右辺第1項の積分は、とおくと、xのとき、t (置換積分を参照)
また、が偶関数であることから、,よって、


(2)
について、
右辺第1項の積分は、とおくと、xのとき、t
また、が奇関数であることから、,よって、

 

(
証明終)

(1)
は、偶関数では、曲線の部分との部分とは同じ形をしています。
この
2つの部分とx軸とに挟まれている部分の面積は等しいので、定積分の計算では、の部分を2倍すればよいのです。
(2)は、奇関数では、曲線の部分との部分とでは、同じ形ですが、符号がちょうど逆になっていて、
定積分についても、
という関係にあるので、足し合わせれば0になるということです。

例.
を計算する。
[解答]  積分区間が、という風になっている場合には、必ず関数の偶奇に注意してください。

 
ここで、は奇関数なので、定積分は0になります。は偶関数なので、の定積分だけ、積分区間をとしたものを2倍にして計算すればよいのです。
 
 
 
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