指数法則の拡張

mnを自然数、aを実数として、が成立します(指数法則参照)
指数法則:
において、としてみると、となりますが、を成り立たせるためには、とすればよいことがわかります。
nを負の整数として、とすると、となるので、と考えればよいことがわかります。

lmを自然数として、とします。

ここで、am回かけたもの、al回かけものなので、なら、なら、なら、であり、いずれにしても、mを正の整数、nの負の整数としても、が成り立ちます。
mが負の整数、nが正の整数の場合にも、
m
nがともに負の整数で、klを正の整数として、のときも、
また、lmを正の整数、nを負の整数でだとして、
l
nを正の整数、mを負の整数でだとして、
m
nがともに負の整数で、klを正の整数だとして、のときも、
m
nのいずれか一方が0、あるいは、ともに0の場合にも、が成り立ちます。
以上より、指数法則:
は、mnが整数の場合について(負の整数であっても、0であってもよい)成り立ちます。

以下、
だとします。
指数法則:
において、mが有理数であるとして、 (lは整数、nは自然数)としてみます。
を成り立たせるためには、n乗がなので、n乗根であればよいことになります。
このとき、
を、n乗根で、nが偶数の場合には正の方だとして、だと約束します(累乗根を参照)
指数が有理数になる場合、有理数を分数で表して、
(有理数)乗は、(分子)乗の(分母)乗根、ということになります。

が成り立つので、
nを自然数、lmを整数だとして、
従って、は、n乗根で、 ・・・@ が成り立ちます。
qsを自然数、prを整数だとして、
@より、
 ・・・A

mを自然数、lnを整数だとして、は、ともにm乗してみると、


 ・・・B が成り立ちます。
mnを自然数だとして、乗すると、となるので、a乗根です。つまり、
 ・・・C が成り立ちます。
(
B)
  ( C)
  ・・・D
A,Dより、指数法則:
は、mnが有理数の場合にも成立します。

実は、指数法則は、指数が実数、虚数の場合にも成立することがわかっています。
指数が円周率
pのような無理数の場合、,・・・,のように、各項が有理数であって、となるような数列を考え、正の数bに対して、として、を考えます。
指数が
p以外の実数aの場合も同様にして、正の数bに対して、を考えます。


指数法則: (mnは実数)

以上により、自然数に限られていた指数を実数全体に拡張することにします。



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