因数定理

剰余の定理:多項式で割ると、余りは

[証明] 多項式で割ったときの商を,余りをRとします。
1次式で割るので、余りは定数です(多項式の除算を参照)
このとき、
ここで、とすると、

よって、多項式で割ると、余りは (証明終)

1.多項式で割ると3余り、で割ると余るという。で割った余りを求めよ。
[解答] で割ると3余るから、 ・・・@ とおけます。
で割ると余るから、剰余の定理より、です。
@において、
とすると、

これより、で割ると2余るので、とおけます。
これを@に代入すると、

 
 
よって、で割った余りは、 ......[]

多項式で割ったときの商を,余りをRとして、

ここで、とすると、

即ち、多項式で割ったときの余りは、です。


因数定理:多項式で割り切れる

[証明] 剰余の定理より、で割ったときの余りは
割り切れるとき、余り
逆に、のとき、で割ったときの商をとして、

よって、で割り切れます。 (証明終)

因数定理を用いて、因数分解する方法を考えます。
多項式:
について、であれば、で割り切れるので、xに適当な数値aを代入して、となるものを探します。
無方針に探してもなかなか見つからないときもあるので、
の定数項をc,最高次の項の係数をdとして、cの約数を分子、dの約数を分母とする分数をaとして、を計算し、となれば、で割り切れます。

2を因数分解してみます。
定数項の36の約数は、1234,・・・
最高次の項の係数
4の約数は、124
まず1を分母にするものから、123,・・・,と順に代入していきます。
より、で割り切れません。
より、で割り切れません。
より、で割り切れます。
で割りますが、1次式で割るときの割り算は、右図のように組み立て除法によるのが便利です。
右図より、
で割ると、商は、です。
xに正数を代入しても0にならないのは明らかです。
xに負数を代入していきます。
,・・・
そこで、分母を
2にしてみます。

これより、で割り切れます。このときの組み立て除法は、で割ると考えて右下図のようにやります。
商は、
となり、

 
と因数分解されました(は実数の範囲では因数分解できません)
注.右上図の組み立て除法は以下のように行います。
で割るときは、まず、割られる式の係数を抜き出して書き、3 (xから引く数)をどこかに、見間違いをしないように書きます(1)
4の下に0 (最初は0です)を書き、40の和4をその下に書きます(2)
先の和の
43をかけた120の下に書き、012の和12をその下に書きます(3)
先の和
123をかけた36の下に書き、36の和17をその下に書きます(4)
先の和
173をかけた51の下に書き、51の和12をその下に書きます(5)
先の和
123をかけた36の下に書き、36の和0をその下に書きます(6)
最後の
0が実は多項式の除算の余りです。余りがあれば0になりません。この0を除いた残りの、4121712は商の各項の係数です。
従って、商は、
となります。


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