フーリエ級数

mnを整数として、




[証明]のとき、
 
のとき、積を和に直す公式により、

 
のとき、
 
のとき、積を和に直す公式により、

 
また、積を和に直す公式により、

 
 
   
 
   
 
(
証明終)

クロネッカーのデルタと呼ばれる記号 (mnは整数)は、以下のように定義されます。
のときのとき
この記号を使うと、上記は以下のように書けます。




は、の範囲で積分可能な関数だとする。を以下のように級数展開したものを、フーリエ級数と言う。
   
ただし、,・・・,また、,・・・,(これらを総称してフーリエ係数と言う)は、
 ()
 ()


 ・・・@ と表せたとして、両辺にをかけて積分すると、

       
 
 
は、の中で、のところだけ、つまりだけが生き残るという意味です。
 ()
@両辺にをかけて積分すると、

        
 
 
以上より、 ()
@両辺をそのまま積分すると、

 


が奇関数である場合、は偶関数、は奇関数になるので、
 (偶関数・奇関数の積分を参照)
このときは、フーリエ級数は、sinの項のみで表せて、

となります。を基本振動、2倍振動、3倍振動、・・・、のように言います。2倍振動以降を単に倍振動と言います。
フーリエ級数は、任意の振動が、基本振動とそれの倍振動の和に分解されることを言っているのです。
係数の
は各振動の割合を示す数字で、がその振動の強さ(エネルギー)の割合を表しています。

が偶関数である場合には、は偶関数、は奇関数になるので、

このときは、フーリエ級数は、cosの項と定数項のみで表せて、

となります。

例.
をフーリエ級数の形に表す。
は奇関数なので、sinの項のみで表すことができます。

 
 



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