微分の公式

(1)  (nは自然数)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
対数微分法の公式
(9)
 ()
(10)

[証明] 導関数の公式を用いて証明しておきます。
(1) のとき、として、導関数の公式を用いると、
よって、により成り立ちます。
のとき成り立つとして、が成り立つとします。
積の微分法により、を用いて、

 
よって、のときにも成り立ちます。
数学的帰納法により、すべての自然数nについて、

(2)
として、導関数の公式を用いると、

 
 
 
 
ここで、公式: (極限の公式を参照)を用いることにより、


(3)
合成関数の微分法により、

(4)
商の微分法により、

 

(5)
公式: (極限の公式を参照)より、

(6)
公式: (極限の公式を参照)より、

 
 

(7)
合成関数の微分法より、

(8)
合成関数の微分法より、 (なお、対数微分法を参照)

(9) (8)
において、 ()とすると、
一方、

()

(10) (9)
として、



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