極限の公式

(1)  (e:自然対数の底、)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

[証明](1) これは、このウェブ・サイトでは、eの定義ということにしておきます。
二項定理より、

     
 
       
 
  
(
最後に正の値をもつ1項が増えていることに注意)
 
従って、数列は単調増加な数列。 ・・・@
また、

       
 
 
従って、数列は上に有界(限界があるという意味です)な数列。 ・・・A
@,Aより、単調かつ有界な数列は極限値をもつという定理
(高校の範囲外です)により、数列は、のとき収束して極限値をもちます。
その極限値を自然対数の底
eと定義します。即ち、

e
は、で、無理数であることが知られています。

(2) として、より、
各辺に1を加えてn乗しても不等号の向きは変わりません。

ここで、とすると、であって、右辺は、
左辺は、
よって、はさみうちの原理より、

(3) (2)
において、とくと、のとき、
よって、

(4) (3)
において、自然対数(eを底とする対数)を考えます。
のとき、


(5) (4)
において、とおくと、
のとき、
よって、


(6)
半径1の円周の長さはと定義されています。
右図のように、円を
n分割した扇形を上下互い違いに並べた図形を考えます。
この図形は、
とすると、縦が1,横が円周の長さの(円周の長さが上下に分かれるから),即ちp?の長方形(面積はp )に近づいていきます。
この図形はもともと円だったので、半径
1の円の面積はp ということになります。

今度は、右図のような頂角q の扇形OABを考えます。明らかに、 です。
扇形
OABの面積は、半径1の円の面積の倍で、です。
よって、
2
をかけて、各辺の逆数を考えると、

ここで、とすると、左辺は、
よって、はさみうちの原理より、


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