極限の公式    関連問題

(1)  (e:自然対数の底、)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

[
証明](1) これは、このウェブ・サイトでは、eの定義ということにしておきます。
二項定理より、

     
 
       
 
  

(最後に正の値をもつ1項が増えていることに注意)
 
従って、数列は単調増加な数列。 ・・・@
また、

       
 
 
従って、数列は上に有界
(限界があるという意味です)な数列。 ・・・A
@,Aより、単調かつ有界な数列は極限値をもつという定理
(高校の範囲外です)により、数列は、のとき収束して極限値をもちます。
その極限値を自然対数の底
eと定義します。即ち、

eは、で、無理数であることが知られています。

(2) として、より、
各辺に
1を加えてn乗しても不等号の向きは変わりません。

ここで、とすると、であって、右辺は、
左辺は、
よって、
はさみうちの原理より、

(3) (2)において、とくと、のとき、
よって、


(4) (3)において、自然対数(eを底とする対数)を考えます。
のとき、


(5) (4)
において、とおくと、
のとき、
よって、


(6)
半径1の円周の長さはと定義されています。
右図のように、円を
n分割した扇形を上下互い違いに並べた図形を考えます。
この図形は、とすると、縦が
1,横が円周の長さの(円周の長さが上下に分かれるから),即ちπ?の長方形(面積はπ )に近づいていきます。
この図形はもともと円だったので、半径
1の円の面積はπ ということになります。

今度は、右図のような頂角
θ の扇形OABを考えます。明らかに、 です。
扇形
OABの面積は、半径1の円の面積の倍で、です。
よって、

2をかけて、各辺の逆数を考えると、

ここで、とすると、左辺は、
よって、
はさみうちの原理より、


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