無限等比級数

この項目は、等比数列等比数列の極限無限級数を参照してください。
初項
,公比rの等比数列の無限級数 (無限等比級数)は、
のときに和をもち、和は、


[証明] のときには、初項,公比rの等比数列の第n項までの和(部分和)
ここで、とすると、
のとき、より、
のときには、より、は発散します。
のときには、は振動するので、は発散します。

のときは、より、は発散します。

以上より、
のときに限ってが収束して、となります。 (証明終)

例.無限循環小数を分数に直すこと。

のように考えると、の部分は、初項0.234,公比の無限等比級数になっています。
公比
は、を満たすので、この無限等比級数は収束して和をもちます。
よって、上記の公式より、
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