電通大数学'08年前期[4]
xyz座標空間内において、点Pを中心とし半径が
の球面Sを考える。ある平面αと球面Sが交わってできる円D上に3点A
，B
，C
がある。以下の問いに答えよ。ただし、
，
とする。
(2) 円Dの中心をQとする。点Qは平面α上にあるので、ベクトル
はある実数s，tを用いて と表される。線分AB，ACの中点をそれぞれM，Nとするとき、ベクトル
，
をs，t，
，
を用いて表せ。 (3) s，tの値を求めよ。
(4) 円Dの半径rと中心Qの座標を求めよ。
(5) 平面αと垂直なベクトル
を成分で表せ。 (6) 球面Sの中心Pの座標を求めよ。ただし、点Pのz座標は負でないとする。
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解答 内積計算によって、条件をみたす点の位置を求めていく、単なる空間ベクトルの計算問題ですが、適度に複雑で、センター試験練習用としてちょうど良いと思います。空間ベクトルを苦手とする人は、こういう問題にしっかり取り組んでおいてください。
(2)については、ベクトルの1次独立を参照してください。
(1) 
......[答]
......[答]
......[答]
(2) 
......[答] 
......[答]
(3) 
より、 ∴ 
･･･①
より、 ∴ 
･･･②
②×5－①×6より、 ∴ 
......[答]①に代入して、 ∴ 
......[答]
(4) 
......[答]
Qの座標は、
......[答]
(5) 平面αと垂直なベクトルは、平面α上のベクトル
，
とも垂直です。 とおくと、
，
より、 
，
より、
∴ 
∴ 
......[答]
また、
なので三平方の定理より、 ∴ 
点Pのz座標は負ではないので、±は、マイナスの方を採って、
よって、Pの座標は、
......[答]
追記．(5)で、2つのベクトルに垂直なベクトルを求めています。本問のような論述問題では使えませんが、空所補充問題では有効な技巧が知られています。
，
であるとき、
と
の外積：
を考えると、
は、
，
の双方と垂直であることを確かめることができます(外積を参照)。試験場で証明していては遠回りになるので、空所補充問題のときに、「2つのベクトルのy，z成分で作った行列式をx成分，z，x成分で作った行列式をy成分、x，y成分で作った行列式をz成分とするベクトルは、もとの2つのベクトルに垂直なる」ことを記憶しておいて使うとよいと思います。
本問では、
となるので、
と平行で大きさ1のベクトルを求めれば
が得られます。
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お送りください。 
，
および
の値を求めよ。
，
と平面αは垂直なので、
// 
です。
