福井大医数学'08年[2]
座標平面において、原点Oを中心とする半径1の円C上に点P
をとり、PにおけるCの接線lと直線
の交点をQとおく。ただし、
とする。l上の点Rが
を満たすとき、以下の問いに答えよ。
(1) Rの座標をθ を用いて表せ。
(2) θ が
の範囲を動くとき、線分PRの長さの最大値とそのときのθ の値を求めよ。 (3) θ が
の範囲を動くときのRの軌跡を求め、その概形を描け。
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解答 (1)で求めるRの座標の形がよくないので、(3)が少し悩むかも知れません。(2)の結果から軌跡の概形がつかめるので、そこから着想することになります。
(1) 原点Oを中心とする半径1の円C：
P
における円Cの接線l：
･･･①
①において
とすると、
では
より、
よって、Qの座標は
Rの座標を
とすると、Rは接線l上の点なので、①をみたします。よって、 
･･･②
より、②に代入して、
∴ 
③より、 よって、Rの座標は
......[答]
(2) 
とすると、
，
，
増減表より(関数の増減を参照)、
のとき、最大値：
......[答]
[別解] 円C上の点
(
)に対して、
，
，
とおくと、
を通る直線
(傾き：
)が円Cの
の部分とと共有点を有する条件は、
(円と直線の位置関係を参照)。これより
の最大値
を求めることができます(右図のような図を描いて考えてください。図から
を最大とするθ の値：
もわかります)。
(3) (1)より、Rの座標を
として、 となるのですが、よく見る媒介変数表示、というわけではないので、どういう曲線になるのか、これだけでは見当がつきません。
のとき、
，
です。
のとき、
，
です。Rのy座標は、(2)に出てくる
の2倍になっているので、
と同じ変化をします。
のとき、
，
(
)ここが、Rの軌跡でy座標が最大となるところです。図を描いてみて楕円かも知れないな、と、感じたら、いきなり、
，
((2)で調べていますが)，
を調べるのではなく、
を先に考えるべきです。
④第1式より、
，
，
④第2式より、
分母を払って、
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とおくと、
においては
(
)
，
(
) ･･･④
より、
のとき、
なので、求める
の
の部分