岐阜大数学'08年[2]
関数
を
とおく。以下の問いに答えよ。
(1) 
の値を求めよ。 (2) 
のグラフの概形を図示せよ。 (3) すべての実数xに対して、
となる実数mの値の範囲を求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 被積分関数に絶対値を含む定積分の問題です。理解できている人にとっては、面倒なだけですが、苦手にしている諸氏は、本問で完全に理解してください。数学Ⅲの指数関数・三角関数の積分でも基本は変わりません。
老婆心ながら、絶対に試験会場で、
などと安易にやらないでください。「合格」の2文字が天高く消え失せてしまいます。
(1)の出題意図は、最初から一般的に考えさせると正答率が下がるので、まず、
とやらせておいてから、一般的に
を考えさせようということだと思いますが、ここでは、最初から一般的に考えることにします。
まず、定積分：
の意味ですが、tの関数：
を
の範囲で積分することを確認しましょう。積分計算を行うときに変数となるものはt です。
絶対値記号を含む問題では、最初に絶対値記号を外すことを考えます。このために、
と
で分けることになります。
です。ですが、xに何が入るのか、わかりません。t としては、
の範囲で考えればよいので、xが
に入るのか、入らないのか、で分けて考える必要があります。
そこで、xについて、
，
，
の3つの場合に分けよう、ということになります(この分け方で、
，
のところが重複することが気になる人は、真ん中の範囲を
とすればよいでしょう)。
(i) 
の場合 
の範囲のすべてのt について、
です。従って、となり、
積分はt について行っていることに充分注意してください。
(ii) 
の場合 このときには、
の範囲のt について、
となる場合と
となる場合のいずれもあり得ます。従って、定積分を
の範囲と
の範囲の2つに分けて行う必要があります。
においては、
においては、
となるので、 (iii) 
の場合 
の範囲のt について、
です。従って、となり、
(1) 
の値は、上記(ii)の場合より、 
......[答]
(2) 上記(i)，(ii)，(iii)より、このグラフの概形は右図。
(3) いろいろな考え方が可能ですが、ここでは、場合分けして計算でやってみます。
(i) 
の場合 とすると、
・
のとき ∴ 
はこの不等式を満たさないので不適です。 ・
のとき この不等式の右辺は
のときに必ず正なので、
となるxはこの不等式を満たしません。よって、不適です。 ・
のとき 
となるすべてのxがこの不等式を満たすためには、右辺が0よりも大きければよいので、∴ 
(
) ･･･① (ii) 
の場合 
･･･②②が成り立つためには、
∴ 
より不適 ②が成り立つためには、
･･･③②が成り立つためには、
③または④より、
･･･⑤ (iii) 
の場合 とすると、
・
のとき ・
のとき 
となるすべてのxがこの不等式を満たすためには、右辺が3よりも小さければよいので、∴ 
よって、このときには、
･･･⑦ ・
のとき 「
となるすべてのxがこの不等式を満たす」ということはありません(
を満たすいかなるmの値に対しても、
となる実数xが存在します)。よって、不適です。 ⑥または⑦より、
･･･⑧ すべての実数xに対して、
となるためには、①かつ⑤かつ⑧より、 
......[答]
追記．会員より、(1)，(2)は三角形の面積で求める方が早い、という指摘がありました。もちろんその通りです。ここでは、絶対値を含む積分の考え方の習得を目的したために上記の解法となりました。
(1)では、底辺2高さ2の直角二等辺三角形と底辺1高さ1の直角二等辺三角形の面積の和として、
(2)では、
の場合は、上底
下底
高さの3の台形の面積として、
の場合は、底辺x高さxの直角二等辺三角形と底辺
高さ
の直角二等辺三角形の面積の和として、
の場合は、上底
下底x高さ3の台形の面積として、
として求めることができます。
(3)も(2)のグラフを使って図形的に説明する解法の方が簡明ですが、上記では、わざわざロジックの複雑な解法でやってあります。ロジックの筋道をぜひ追ってみてください。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2023(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
であれば、
であれば、
のとき(2次関数
の軸
が
の範囲内にある)
(
を解くと
)
，
，
より、
のとき(2次関数
の軸
が
の右側)
より、
･･･④
はこの不等式を満たすので、
･･･⑥
のとき
が
の左側