佐賀大理工数学'08年[2]
,を満たす実数a,bに対して、行列
, とする。次の問いに答えよ。
(1) Pの逆行列を求めよ。 (2) を求めよ。 (3) 自然数nに対して、とするとき、,を求めよ。 (4) ,は、どのような試行に対する、どのような事象の確率を与えていると考えられるか、例を1つ示せ。
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解答 (1)〜(3)は何の変哲もない頻出タイプの行列の累乗の問題ですが、(4)が注目されると思います。
(1) に注意して、 ......[答]
(2) ......[答]
(3) また、(2)の結果より、
よって、
左からP,右からをかけて、 ∴ , ......[答]
(4) より、 となるので、各回の試行ごとに、状況Aか状況Bのどちらかにおかれ、1回試行を行うと、Aとなる確率が,Bとなる確率がとなり、n回試行を行った後、状況Aにあれば確率aでAの状況に移行し、状況Bにあれば確率bでBの状況に移行する、という例を考えればよいわけです。
例えば、サイコロを振るという試行をn回行って、出た目が3の倍数となる回数を数え、状況Aは、3の倍数が奇数回出るという事象(確率)、状況Bは、3の倍数が偶数回出るという事象(確率)だとすればよいわけです。この例では、 , となるので、になっています。
「サイコロをn回振る」という試行に対して、が「出た目が3の倍数となる回数が奇数回となる」事象の確率を与え、が「出た目が3の倍数となる回数が偶数回となる事象」の確率を与える。 ......[答]ほかにも、いろいろ考えられます。楽しく考えてみてください。
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