同志社大文系数学'09[3]

O1つの頂点とする4面体OABCを考える。とし、がそれぞれ直交するとき、次の問いに答えよ。
(1) klmを実数とする。空間の点Pとするとき、内積klmを用いて表せ。
(2) Oからに下ろした垂線の足をHとする。を用いて表せ。
(3) の面積Sを用いて表せ。
(4) の面積をの面積をの面積をとする。の面積Sを用いて表せ。


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解答 空間ベクトルの問題で、面倒そうに見えますが、という条件があるので、難しくはありません。悩むより先に手を動かせ、という問題です。
三平方の定理を思わせる
(4)の結果は、記憶しておくと、センター試験などで役に立つ局面があるかも知れません。

より、
 ・・・@


(1) @を用いて、

......[]

(2) とおくと、より、
となるので、@を用いて、

 ・・・A

 ・・・B
A,Bより、
 ・・・C
H上の点であることから、の係数の和は1 (平面のベクトル方程式を参照)で、

Cより、
......[]

(3) @を用いて、の面積Sは、
 (三角形の面積の公式を参照)


......[]

(4) の面積は、
の面積は、
の面積は、
これより、
......[]


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