，とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 積分を計算し、をaとθ を用いて表せ。

(2) 極限が正の値に収束するためのaの条件を求めよ。

(3) (2)の条件を満たすaに対して、極限をaを用いて表せ。

(4) (2)の条件を満たすaに対して、極限をaを用いて表せ。なお、であるすべてのxに対して

することになります。
なお、“，”という条件は、

(1)

　(積和の公式を利用。三角関数の諸公式を参照)

......[答]

(2) とおくと、のとき

より、

のとき、， (極限の公式を参照)より、極限が正の値に収束するためには、まず、，即ち、aが2以上の整数であること()が必要。
逆に、aが2以上の整数であるとき、より、，とすると、

であるためには、さらにaが奇数であることが必要で、aが3以上の奇数であるとき、

(3) aが3以上の奇数のとき、，より、

　(加法定理を参照)

のとき、

∴ ......[答]

(4) まず、aが3以上の奇数であること、を用いて、(1)の計算結果に出てくる，を直します。，より、

　･･･�@

の中にという形が出てくるのですが、(3)の結果をそのまま使うのでは、の形になってうまく行きません(不定形の極限を参照)。
そこで、問題文のヒントの利用を考えることになります。，であることに注意して、問題文のヒントで、，とすることにより、

　･･･�A

　･･･�B

に注意して、×�Aより、

　･･･�C

×�Bより、

　･･･�D

　･･･�E

より、�Eの各辺をで割って、

ここで、とすると、

......[答]

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