神戸大理系数学'09年後期[5]
a，b，c，dを実数(
)とし、k，l，m，nを自然数とする。実数xの関数
について、以下のことを示せ。
(1) a，b，c，dと異なるxに対して、
が成り立つ。
(2) 
の範囲のxに対して、 が成り立つ。
(3) 次の2つの条件を同時に満たす実数tが存在する。
(i) 
(ii) 
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解答 (3)は、(2)との関連が気づきにくいのですが、気づけてしまえば、(2)の不等式の左辺と右辺の動きを調べることにより解決します。
(1) 
両辺に
を加えて、 (1)の結果と
より、 両辺に
を加えて、 (1)の結果と
より、 
･･･②
(3) 問題文の(i)と(ii)で言っていることは、方程式
の解tが、 の範囲にある、ということです。この範囲の左端
と右端
は、 
，
これより、左端は、数直線上の
と
を、l：
に内分するところにあり、右端は、
：mに内分するところにあります。これで(2)が利用できそうだ、ということがわかります。(2)の不等式の左辺は、 (2)の不等式の右辺は、
と変形できます。つまり、方程式
の解tは、(2)の不等式の左辺と右辺をゼロにする値の間にあるわけです。そこで、(2)の不等式の左辺と右辺を
，
とおいて、どんな変化をするかを調べてみます。 より、
において、
は単調減少で、
，
，方程式
は、この範囲にただ1つの実数解
をもちます。 より、
において、
は単調減少で、
，
，方程式
は、この範囲にただ1つの実数解
をもちます。(2)より、
の範囲のxに対して、 
･･･③また、
のとき、
，
，
，
，従って、
，
，
，
は定符号なので、
も定符号で
です。
よって、
において、③より、
のグラフは、
のグラフよりも上、
のグラフよりも下を通るので、
の連続性より、条件(i)，(ii)を満たす実数tが存在します。
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の範囲内のxに対して、
，
より、
(
，
に注意)
･･･①
の範囲内のxに対し、
，
より、
より、
