九州工大情報数学'09年[4]
箱の中に、数字の1を記入したカード、2を記入したカード、3を記入したカードがそれぞれn枚、合計
枚入っている。ただし、
であり、またカードの裏側には何も書かれていないものとする。以下の問いに答えよ。
(1) 箱の中からカードを1枚取り出し、数字を見ないで伏せておく。次に箱の中から取り出したカードの数字が1である確率を求めよ。
(2) 箱の中から2枚のカードを同時に取り出したとき、カードの数字が異なる確率をnを用いて表せ。
(3) 箱の中から3枚のカードを同時に取り出したとき、カードの数字がちょうど2種類である確率をnを用いて表せ。
(4) 箱の中から4枚のカードを同時に取り出したとき、カードの数字がちょうど2種類である確率をnを用いて表せ。
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解答 (2)，(3)は余事象に着目してもよいのですが、(4)は余事象を考えてしまうと(3)の応用が効かなくなります。
この問題では、問われている方の事象を考える方が、(2)，(3)，(4)のつながりがスムーズです。
(1) 
枚のカードから2枚取る取り方は、1枚目の取り方が
通り、1枚取ると
枚残るので、2枚目の取り方が
通りで、
通り。 1枚目の数字がわからないので、1枚目が1かどうかで場合分けします。
・1枚目に1を取る取り方はn通り、このとき、1は
枚残るので、2枚目にも1を取る取り方は
通りで、
通り。 ・1枚目に1以外を取る取り方は
通り、このとき、1はn枚残っていて2枚目に1を取る取り方はn通りで、
通り。 
......[答]注．この結果は、1枚目の数字を見ないでおけば、2回目に1を引く確率は、1回目に1を引く確率と同じだということを表しています。
(2) 全事象は(1)と同じく、
通りあります。 1枚目は何を取ってもよいので
通り。2枚目は1枚目と異なるカードを取ります。1枚目と異なるカードは
枚あります。
求める確率は、 
......[答]別解．余事象に着目することもできます。余事象は、1枚目と2枚目が同じ数字になる事象です。全事象は、
枚から2枚取る取り方として
通り(組み合わせを参照)、1枚目と2枚目が同じになる事象は、同一数字のカードn枚から2枚取る取り方が
通り、数字は3種類あるので、
通り、求める確率は、
(3) 
枚のカードから3枚取る取り方は、1枚目が
通り、2枚目が
通り、3枚目が
通りで、
通り。 1枚目は何を取ってもよいので
通り。 ・2枚目に1枚目と同じものを取るとき
通り、このとき3枚目には、1枚目、2枚目とは異なるものを取ればよいのですが
枚残っているので取り方は
通りあり、
通り。 ・2枚目に1枚目と異なるものを取るとき
通り、このとき3枚目には、1枚目あるいは2枚目に取ったものと同じものを取ればよいのですが
枚残っているので取り方は
通りあり、
通り。 求める確率は、
......[答]別解．余事象は、1〜3枚目が同じ数字になる、か、1〜3枚目で1，2，3の全ての数字が出る事象です。
全事象は、
枚から3枚取る取り方として
通り。1〜3枚目が同じ数になるのは、同一数字のn枚から3枚取る取り方が
通り、数字が3種類で、
通り。1〜3枚で1，2，3の全ての数字が出るのは、各数字n枚あって、1，2，3の並び方が
通りあるので、
通り。
求める確率は、 
......[答]
(4) 
枚のカードから4枚取る取り方は、
通り。 1枚目は何を取ってもよいので
通り。 ・2枚目に1枚目と同じものを取るとき
通り、このとき、 (a) 3枚目に、1枚目、2枚目と同じものを取るとき
通り、4枚目は、1〜3枚目と異なるものを取るので
通りで、
通り。 (b) 3枚目に、1枚目、2枚目とは異なるものを取るとき
通り、4枚目は、1枚目あるいは3枚目に取ったものと同じものを取ればよいのですが
枚残っているので取り方は
通りあり、
通り。 (a)，(b)合わせて、
通り。 ・2枚目に1枚目と異なるものを取るとき
通り、このとき、3枚目は、1枚目あるいは2枚目に取ったものと同じものを取ればよく、
通り、4枚目も同様に、
通りで、
通り。 求める確率は、
......[答]
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