金沢大理系数学'09年[2]
関数
は区間
で連続で、偶関数、すなわち
であるとする。次の問いに答えよ。
(1) 
を示せ。 (2) 関数
(
)について を示せ。
(3) 関数
は、さらに等式 
(
)を満たすとする。このとき、関数
について が成り立つことを示し、
を導け。
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解答 本問だけだと、単なる計算問題ですが、物理の単振動を背景としている問題です。
(2) 絶対値を含む定積分は、絶対値記号内が0以上になるように積分区間を分割して計算します。
においては
，
においては
です。 
･･･①
(3) 
，また、(2)の結果より、 
･･･②
･･･③③において
とすると、 ③を微分すると、
･･･④
①において、
とすることにより、 
(∵ (1))∴ 
とおくと、
･･･⑤④を微分すると、
(∵ ③)⑤より、
∴ 
(C：定数)
より、
∴ 
これより、恒等的に
∴ 
追記．この問題で、積分するときの変数をs，xをt，積分の下端を
と上端をTと書き直すと、
になります。
が
を満たすとして、
･･･⑥
より、Eはtに依存しない定数になりますが、これは、力学的エネルギー保存則を表しています。物体の質量をmとして、
は運動エネルギー，
は位置エネルギーを表しています。本問では、
の形が与えられてしまっていますが、⑥より、
となり、両辺をtで積分し、
とおくと、
，t：
のとき、θ：
より、
∴ 
本問では、
，
となるような条件設定がされています。
なお、同じようなことをすると、単振動の運動方程式を微分方程式を持ち出さずに解くことができます。時刻tに位置xにいる質点が変位に比例する復元力
を受けて運動しているとします。質点の速度は
，加速度は
質点の運動方程式は、
，つまり、
･･･⑦
質点の力学的エネルギー：
は、
(∵ ⑦)
より、
これより
には最大値が存在しますが、これをAとおく(振幅)と、
のとき
なので、
∴ 
∴ 
(
とおいた)
逆関数の微分法の公式を用いて、
のとき
，時刻tにおいて
だとします。
両辺をxで
の範囲で積分すると、
とおくと、
，x：
のときφ：
∴ 
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において、
とおくと、
，t：
のとき、u：
(
)
