奈良県立医大数学'09年[2]
nを2以上の整数とし、1からnまでの相異なるn個の整数を横一列に並べて得られる各順列σに対して、左からi番目の数字を
と記す。このとき、条件
，かつ
を満たす整数の対
の個数を
とおく。さらに1からnまでの順列σ全体のなす集合をSとする。順列σがS全体を動くとき、
の総和
を求めよ。
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解答 抽象的なことを言っている問題文で、なかなか題意がつかめません。こういう問題では、
の場合、
の場合、･･･、と具体的に調べて行くことになります。問題文がどういうことを言っているのか、ということが把握できてから解答を考えるようにしましょう。
まず、整数nを決めると、
という個数があって、
はその総和だというのですから、少なくとも
は、nに対して定まる数値だ、ということが言えます。そこで、
と書くことにします。
また、1からnまでの相異なるn個の整数を横一列に並べて得られる順列を
，「条件
，かつ
」を条件Cと表すことにします。
のとき、1と2の2個の数字で順列を作ると、
と
の2通りできます。
では、
，
として
(1番目の数字)，
(2番目の数字)なので、
となり、条件Cは満たされません。
です。
では、
，
として
(1番目の数字)，
(2番目の数字)なので、
となり、条件Cは満たされています。これより、条件Cを満たす整数の対
は
のみで、
です。
これで、
は、順列の中で、大小関係がひっくり返っている対の個数を言っているのだ、ということがわかります。また、
です。
のとき、1と2と3の3個の数字で順列を作ると、
，
，
，
，
，
の6通りできます。
では、大小関係がひっくり返っている対はなく、
です。
では、
なので、条件Cを満たす対
は
のみで、
です。
では、
なので、条件Cを満たす対
は
のみで、
です。
では、条件Cを満たす対は
，
で、
です。
では、条件Cを満たす対は
，
で、
です。
では、条件Cを満たす対は
，
，
で、
です。
これより、
です。
ここで、
の場合と
の場合とを比較してみます。
(i) 
である
と
は、最大の3が末尾に来ているので、
，
のときには条件Cは満たされません。
と
だけを見れば
の場合と同じで、
では
，
では
になります。 (ii) 
である
と
は、最大の3が2番目に来ているので、
が1であっても2であっても
となり、
という対では条件Cが満たされます。
と
だけを見れば
の場合と同じで、
の分だけ1個増えて、
では
，
では
になります。 (iii) 
である
と
は、最大の3が先頭に来ているので、
，また、
となり、
，
という対では条件Cが満たされます。
と
だけを見れば
の場合と同じで、
と
の分の2個が増えて、
では
，
では
となります。 これで規則性が見えてきます。
のとき、順列は24通りできますが、最大の4が何番目に来るかで場合分けして考えると、
(i) 
のときには、最大の4が末尾に来ていて、
，
のときには条件Cは満たされません。
，
，
だけを見れば
のときと同じで、この場合の
の和は
です。 (ii) 
のとき(6通りの順列があります)には、最大の4が3番目に来ていて、
のいずれについても
となり、
という対では条件Cが満たされます。
，
，
だけを見れば
の場合と同じで、6通りの各順列について
の分だけ1個ずつ増えて、この場合の
の和は
です。 (iii) 
のとき(6通りの順列があります)には、最大の4が2番目に来ていて、
，
となり、
，
という対では必ずCが満たされます。
，
，
だけを見れば
の場合と同じで、6通りの各順列について
，
の分の2個が増えて、この場合の
の和は
です。 (iv) 
のとき(6通りの順列があります)には、最大の4が先頭に来ていて、
，
，
となり、
，
，
という対では条件Cが満たされます。
，
，
だけを見れば
の場合と同じで、6通りの各順列について
，
，
の分の3個が増えて、この場合の
の和は
です。 以上より、
です。
これで、一般の整数n (
)の場合について考えることができます。
順列は
通りできますが、最大の数字nが第k番目(
)に来る、つまり、
だとすると、
(i) 
のときには、最大のnが末尾に来ていて、
，
のときには条件Cは満たされません。
，
，･･･，
だけを見れば
のときと同じで、この場合の
の和は
です。 (ii) 
のとき(kの各値について、
通りの順列ができます)には、最大のnが第k番目に来ていて、
，
として
という
個の対では必ず条件Cが満たされます。
～
から
を除くと
のときと同じで、
通りの各順列について
個増えて、この場合の
の和は
です。 以上より、
･･･①
これより、
と予測できます。予測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明します。
(Ⅱ) 
のとき、予測が成立するとして、
①より、
よって、予測は成立します。
(Ⅰ)，(Ⅱ)より、
となる整数nについて、
......[答]
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のとき、
，
より、予測は成立します。
