大阪教育大数学'09年[4]
1個のさいころをn回投げるとき、k回目に出た目を
とし、それらの積
を
とする。そして
がr桁の自然数となる確率を
とする。次の問いに答えよ。
(1) 
のとき、
をnを用いて表せ。 (2)(i) 1個のさいころをn回投げるとき、1以外の目がちょうどs回出る確率を
とする。
をsを用いて表せ。 (ii) 
を求めよ。
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解答 (2)(ii)が難問です。(i)をどう利用するかがポイントです。
(1) いろいろな考え方が可能ですが、ここでは、(2)をにらんで、n回さいころを投げるときに1以外の目が何回出るか、ということで分類して考えてみたいと思います。
が1桁の自然数になるのは、以下の4つの場合です。(a) n回すべて1が出るとき、1通り。
(b) 1以外の目が1回出るとき、その1回に出た目が2～6までの5通り、2～6の目がn回のうちのどの1回に出るかがn通りで、
通りあります。 (c) 1以外の目が2回出るとき、その2回に出た目が、
，
，
，
，
，
の6通りあり、この2回がn回のうちのどの2回かが
通りで、
通りあります。(d) 1以外の目が3回出るとき、その3回に出た目が、
の1通り、この3回がn回のうちのどの3回かが
通りあります。 n回さいころを投げるとき、目の出方は
通りあって、求める確率は、 
......[答]
(2)(i) 1以外の2～6の5通りの目がs回出るのが
通り、１以外の目が出るのがn回のうちのどのs回かが
通りで、n回さいころを投げて1以外の目がちょうどs回出る確率は、 
......[答](ii) まず、n回すべて1，あるいは、1以外の目の出るのがちょうど1回のときには、
は1桁の自然数で2桁になりません。 
が2桁の自然数になるのは、例えば、1以外の目が2回出るとき、その2回に出た目が、の19通りあり、この2回がn回のうちのどの2回かが
通りで、
通りあります。
ですが、このまま、1以外の目が3回出るとき、4回出るとき、と、やっていくと大変なことになります。そこで、(i)の利用を考えます。
と言っても、どう利用するのか、なかなか思い浮かびません。一つ気づきたいことは、1以外の目が出る回数はいくら多くても良いわけではない、ということです。
，
から考えると、1以外の目が7回以上出てしまうと、
となってしまいます。従って、
が2桁の自然数になるためには、1以外の目の出る回数は、2回か、3回か、4回か、5回か、6回のいずれかでなければならないのです。
そこで、上記の
通りの場合を考えると、この目の出方の集合は、1以外の目が2回出る場合の目の出方の集合の部分集合です。ということは、n回さいころを投げて、1以外の目が2回出て、かつ、
が2桁の自然数となる確率を
とすると、
になるということです。
さらに言えば、
として、n回さいころを投げて、1以外の目がs回出て、かつ、
が2桁の自然数となる確率を
とすると、
となります。これで、(i)が利用できそうです。n回さいころを投げて、
が2桁の自然数になる確率
は、 
･･･②なので、
･･･③です。これで、
自体を求めるのは難しくても、
は、はさみうちにするのだろう、という問題の構図がおぼろげに見えてきます。
③に
をかけると、右辺は、①を用いて、 
･･･④ここで
とすると、
の項から
の項では
となり分母にnが余計にあるので
となりますが、
の項だけ分母にnが残らず
となり、
のときに、③の右辺は
となることがわかります。だからと言って、
ではなく、
であることに注意してください。
そこで、今度は、
よりも小さくなるものを探します。これもすぐには探せないので、まず、④で
のときに有効な寄与をする項が
の項だけというところに目を付けます。これは、
で割って極限をとるからで、
で6個の連続整数の積が出てくる
の項が有効になるのです。そこで、
～
の中で、
で割って極限をとるときに有効になりそうな
を考えてみます。②において、
のときに
であることは明らかなので、
です。
は、n回さいころを投げて、1以外の目が6回出て、かつ、
が2桁の自然数になる確率です。この6回の目の出方は、
，
，
などから考えて、 
，
の2通りしかありません。
の方は、n回のうちどの6回で2が出るかと考えて、
通り、
の方は、n回のうちどの6回で2か3が出るかが
通り、6回のうちどの回が3かが6通りで、
通り、
∴ 
をかけて、
とすると、 
･･･⑤この極限値
は、先ほど④の右辺で
としたときの極限値
と食い違っています。③のままでは、はさみうちの形にできないのです。
なので、③の右辺のうち末尾の
を
としても、 となります。ここで、
のとき、
であったことを思い起こせば、はさみうちの形が得られたことがわかると思います。結局、 
･･･②において、
のとき
であることから、 
をかけて、ここで、
とすると、⑤と、
のとき
であることから、左辺、右辺とも、 
，
......[答]追記．予備校講師のようなプロなら最初から
が支配的だろうということに気づくと思いますが、一般の受験生の皆さんは、いろいろと試行錯誤して最終解答にたどりつくので構わないと思います。
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