九大理系数学'09年[3]
曲線
：
の点P
における法線と点Q
における法線の交点をRとする。ただし、
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) bがaに限りなく近づくとき、Rはある点Aに限りなく近づく。Aの座標をaで表せ。
(2) 点Pが曲線
上を動くとき、(1)で求めた点Aが描く軌跡を
とする。曲線
と軌跡
の概形を描き、
と
の交点の座標を求めよ。 (3) 曲線
と軌跡
で囲まれた部分の面積を求めよ。
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解答 単なる微積の計算問題ですが、背景があります。
曲線
：
(1) ・
のとき、点P
における接線の傾きはa，法線の傾きは
です。法線の方程式は、 整理して、
･･･①
同様に、点Q
における法線の方程式は、 
･･･②①，②を連立すると、
より、Rのx座標は、
･･･③①より、Rのy座標は、
･･･④・
のとき、点P
における法線は、
，従って、Rのx座標も0 ②において
とすると、Rのy座標は、
③で
とすると、
④で
とすると、
従って、③，④は、
の場合でも成り立ちます。 bがaに限りになく近づくとき、
よって、A
......[答]
aを消去すると、
において、yはxの減少関数(関数の増減を参照)。
において、yはxの増加関数。
また、
は上に凸な曲線(関数の凹凸を参照)。
のとき、
，
のとき
，
のとき
(注．これより、
は
で尖っていることがわかります。これを尖点(せんてん)と言います)，
のとき
曲線
と軌跡
の概形は右図。
に⑤を代入すると、∴ 
(3) ⑤よりaを消去すると、
......[答]
追記．
本問の類題として次の問題があげられます。防衛医大'95年[4]です。
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関数
は
で
，
をみたしている。曲線
上の相異なる2点をP
，Q
として以下の問いに答えよ。
(1) 
の点Pにおける法線と点Qにおける法線の交点Rの座標を求めよ。
(2) 
のとき、線分PRの長さの極限値を求めよ。
(3) 
のとき、(2)の極限値を最小にするaの値を求めよ。
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解答 かなり面倒ですが、本問と同様に素直に計算していきます。
(1) 点Pにおける法線は、
･･･①点Qにおける法線は、
･･･②①，②を連立して、
交点Rのx座標は、
......[答]①より、交点Rのy座標は、
......[答]
(2) 
とすると、 より、
∴ 
∴ 
(3) (2)の結果で、
とすると、
より、 とおくと、
とすると、
より、
(底はe)
において
，
において
より、PRを最小にするaは、
......[答]
九大'09年前期[3]の本問は、この防衛医大の問題で、
とした場合にあたります。
曲線
上の点
においてこの曲線と接する円でこの曲線の微小部分を最もよく近似するものを曲率円(あるいは、接触円)と言いますが、九大の本問で求めた
は曲率円の中心になっています。
防衛医大の解答の途中に出てきた、
の極限
が、一般的な場合の曲率円の中心です。曲線上を動く動点における曲率円の中心が描く軌跡(九大の本問で図示した軌跡
)を縮閉線と言います。
防衛医大の問題で求めているPRの極限
は、曲率円の半径になっていて、曲率半径と言います。2005年4月に尼崎市で電車がカーブを曲がりきれずに脱線しマンションに激突する、という悲しい大事故が起きましたが、曲率半径はカーブの曲がり具合を考える上での重要な要素です。
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に関して、
，
･･･⑤
，
と
の交点は、
......[答]
